【題目】已知O中,弦AB=AC,點(diǎn)P是BAC所對(duì)弧上一動(dòng)點(diǎn),連接PB、PA.

)如圖①,把ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到ACQ,求證:點(diǎn)P、C、Q三點(diǎn)在同一直線上.

)如圖②,若BAC=60°,試探究PA、PB、PC之間的關(guān)系.

)若BAC=120°時(shí),(2)中的結(jié)論是否成立?若是,請(qǐng)證明;若不是,請(qǐng)直接寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系,不需證明.

【答案】見解析;PA=PC+CQ=PC+PB;(PB+PC=2×PA=PA.

【解析】

試題分析:)連結(jié)PC,如圖①,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得ABP=ACQ,再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得ABP+ACP=180°,則ACQ+ACP=180°,于是可判斷點(diǎn)P、C、Q三點(diǎn)在同一直線上;

)把ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到ACQ,如圖②,則由①得點(diǎn)P、C、Q三點(diǎn)在同一直線上,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BAP=CAQ,AP=AQ,PB=CQ,而BAP+PAC=60°,則PAC+CAQ=60°,即PAQ=60°,于是可判斷APQ為等邊三角形,所以PQ=PA=PB+PC;

)把ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到ACQ,如圖③,由①得點(diǎn)P、C、Q三點(diǎn)在同一直線上,BAP=CAQ,AP=AQ,PB=CQ,由BAP+PAC=120°,得到PAC+CAQ=120°,即PAQ=120°,可計(jì)算出P=Q=30°,作AHPQ,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得PH=QH,在RtAPH中,利用余弦的定義得cosAPH=cos30°==,則PH=PA,由于PQ=PC+CQ=PC+PB=2PH,所以得到PB+PC=PA.

)證明:連結(jié)PC,如圖①,

ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到ACQ

∴∠ABP=ACQ,

四邊形ABPC為O的內(nèi)接四邊形,

∴∠ABP+ACP=180°,

∴∠ACQ+ACP=180°,

點(diǎn)P、C、Q三點(diǎn)在同一直線上;

)解:PA=PB+PC.理由如下:

ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到ACQ,如圖②,

由①得點(diǎn)P、C、Q三點(diǎn)在同一直線上,BAP=CAQ,AP=AQ,PB=CQ,

BAC=60°,即BAP+PAC=60°,

∴∠PAC+CAQ=60°,即PAQ=60°,

∴△APQ為等邊三角形,

PQ=PA,

PA=PC+CQ=PC+PB

)(2)中的結(jié)論不成立,PA、PB、PC之間的關(guān)系為PA=PB+PC.理由如下:

ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到ACQ,如圖③,

由①得點(diǎn)P、C、Q三點(diǎn)在同一直線上,BAP=CAQ,AP=AQ,PB=CQ,

BAC=120°,即BAP+PAC=120°,

∴∠PAC+CAQ=120°,即PAQ=120°

∴∠P=Q=30°,

作AHPQ,則PH=QH,

在RtAPH中,cosAPH=cos30°==

PH=PA,

而PQ=PC+CQ=PC+PB=2PH,

PB+PC=2×PA=PA.

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