【題目】如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)E在邊AD(不與A,D重合),點(diǎn)F在邊CD上,且∠EBF=45°,若△ABE的外接圓⊙OCD邊相切.

(1)⊙O的半徑長(zhǎng);

(2)△BEF的面積.

【答案】(1);(2).

【解析】

(1)將△BCF繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△BAP,過(guò)點(diǎn)BBQ⊥EF,設(shè)⊙OCD相切于點(diǎn)M,連接OM,延長(zhǎng)MOAB于點(diǎn)N,由已知得出△BPE≌△BFE,進(jìn)而得出△AEB≌△QEB,利用中位線出AE的長(zhǎng),由勾股定理求出BE,即可得出半徑;
(2)由CEFD=4,利用勾股定理得出DF的長(zhǎng),即可求出△BEF的面積.

解:(1)將BCF繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到BAP,過(guò)點(diǎn)B作BQEF,設(shè)O與CD相切于點(diǎn)M,連接OM,延長(zhǎng)MO交AB于點(diǎn)N,如圖所示:

BPE與BFE中, ,

∴△BPE≌△BFE(SAS),

∴∠AEB=∠BEQ,PE=EF,

AEB和QEB中, ,

∴△AEB≌△QEB(AAS),

∴BQ=AB=2,

由PE=EF可知,

CEFD=ED+DF+EF=ED+DF+PE=ED+DF+PA+AE=ED+AE+DF+FC=4,

設(shè)AE=a,則DE=2﹣a,BE= ,

O為BE中點(diǎn),且MN∥AD,

∴ON=AE=

∴OM=2﹣,

又BE=2OM,

=4﹣a,解得a= ,

∴ED=,BE= = ,

∴⊙O的半徑長(zhǎng)=BE= ;

(2)∵CEFD=4,設(shè)DF=b,

∴EF=4﹣b﹣=﹣b,

在RtEDF中,(2+b2=(﹣b)2

解得b= ,

∴EF==

∴SBEF=××2=

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】(問(wèn)題情境)如圖,Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,我們可以利用△ABC△ACD相似證明AC2=AD·AB,這個(gè)結(jié)論我們稱之為射影定理,試證明這個(gè)定理;

(結(jié)論運(yùn)用)如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6,點(diǎn)O是對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn),點(diǎn)ECD上,過(guò)點(diǎn)CCF⊥BE,垂足為F,連接OF.

(1)試?yán)蒙溆岸ɡ碜C明△ABC∽△BED;

(2)DE=2CE,求OF的長(zhǎng).

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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,,,點(diǎn)軸上且關(guān)于軸對(duì)稱.

1)求點(diǎn)的坐標(biāo);

2)動(dòng)點(diǎn)以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)出發(fā)沿軸正方向向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒,點(diǎn)到直線的距離的長(zhǎng)為,求的關(guān)系式;

3)在(2)的條件下,當(dāng)點(diǎn)的距離時(shí),連接,作的平分線分別交于點(diǎn)、,求的長(zhǎng).

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【題目】如圖,在四邊形中,對(duì)角線、交于點(diǎn),,,平分,過(guò)點(diǎn)的延長(zhǎng)線于點(diǎn),連接

1)求證:四邊形是菱形;

2)若,,求的長(zhǎng).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以原點(diǎn)O為圓心的圓過(guò)點(diǎn)A(5,0),直線y=kx-2k+3(k≠0)與⊙O交于B、C兩點(diǎn),則弦BC的長(zhǎng)的最小值為____

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,已知:二次函數(shù)y=x2+bx+c 的圖象與x軸交于A,B兩點(diǎn),其中A點(diǎn)坐標(biāo)為(-3,0),與 y 軸交于點(diǎn) C(0,-3)在拋物線上.

(1)求拋物線的表達(dá)式;

(2)拋物線的對(duì)稱軸上有一動(dòng)點(diǎn) P,求出當(dāng) PB+PC 最小時(shí)點(diǎn) P的坐標(biāo);

(3)若拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)Q,使△ABQ的面積為6,求Q點(diǎn)坐標(biāo).

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【題目】如圖,在△ABC中,∠B=90°,AB=12,BC=24,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿邊AB向終點(diǎn)B以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度移動(dòng),動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿邊BC以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)C移動(dòng),如果點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、B同時(shí)出發(fā),那么△PBQ的面積S隨出發(fā)時(shí)間t(s)如何變化?寫出函數(shù)關(guān)系式及t的取值范圍.

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【題目】如圖,AN是M的直徑,NBx軸,AB交M于點(diǎn)C.

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(2)直接寫出它的開口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo);

(3)點(diǎn)(x1,y1),(x2,y2)均在此拋物線上,若x1>x2>4,則y1 ________ y2(填“>”“=”或“<”).

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