Question

（1）如圖，ΔABC中，∠ABC=50°，∠ACB=70°，D為邊BC上一點（D與B、C不重合），連接AD，∠ADB的平分線所在直線分別交直線AB、AC于點E、F. 求證：2∠AED-∠CAD=170°；

（2）若∠ABC=∠ACB=n°，且D為射線CB上一點，（1）中其他條件不變，請直接寫出∠AED與∠CAD的數(shù)量關(guān)系．（用含n的代數(shù)式表示）

Answer 1

（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)可設(shè)∠ADE=∠BDE=x°，由∠AED=∠ABC+∠BDE，∠ABC=50°可得∠AED= x°+50°①，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)可得∠ADB=∠ACB+∠CAD，即可得到∠CAD=∠ADB-∠ACB，由∠ACB=70°，∠ADB=(2x)°可得∠CAD=(2x)°-70°②，由①×2-②即可證得結(jié)論；
（2）2∠AED-∠CAD=（3n）°或2∠AED+∠CAD=540°-（3n）°.

試題分析：（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)可設(shè)∠ADE=∠BDE=x°，由∠AED=∠ABC+∠BDE，∠ABC=50°可得∠AED= x°+50°①，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)可得∠ADB=∠ACB+∠CAD，即可得到∠CAD=∠ADB-∠ACB，由∠ACB=70°，∠ADB=(2x)°可得∠CAD=(2x)°-70°②，由①×2-②即可證得結(jié)論；
（2）解法同（1）.
解：（1）DE平分∠ADB
∴設(shè)∠ADE=∠BDE=x°
∵∠AED=∠ABC+∠BDE，∠ABC=50°
∴∠AED= x°+50°        ①
∵∠ADB=∠ACB+∠CAD
∴∠CAD=∠ADB-∠ACB
∵∠ACB=70°，∠ADB=(2x)°
∴∠CAD=(2x)°-70°      ②
∴由①×2-②，得：2∠AED-∠CAD=170°；
（2）2∠AED-∠CAD=（3n）°或2∠AED+∠CAD=540°-（3n）°.
點評：此類問題難度較大，在中考中比較常見，一般在壓軸題中出現(xiàn)，需特別注意.