Question

【題目】問題探究：

(1)如圖1,在△ABC中,∠B=90，AB=3，BC=4，若△ABC的邊上存在點P，使△ABP是以AB為腰的等腰三角形，則CP的長為______；

(2)如圖2,在矩形ABCD中,AB=3,邊BC上存在點P,使∠APD=90，求矩形ABCD面積的最小值.

問題解決：

(3)如圖3,在四邊形ABCD中,AB=3,∠A=∠B=90,∠C=45,邊CD上存在點P,使∠APB=60°，在此條件下，四邊形ABCD的面積是否存在最大值?若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1) 1或或2；(2) 矩形ABCD面積的最小值為18；(3)存在，+.

【解析】（1）分三種情形分別求解即可；

（2）如圖2中，當以AD為直徑的⊙O與BC相切時，切點為P，此時∠APD=90°，AD的長最小．求出AD的長即可解決問題；

（3）存在．如圖3中，如圖作等邊三角形ABM的外接圓⊙O，當直線CD與⊙O相切與P時，四邊形ABCD的面積最大，此時滿足條件∠APB=∠AMB=60°．想辦法求出AD、AB即可解決問題；

（1）如圖1中，作BH⊥AC．

在Rt△ABC中，∵∠ABC=90°，AB=3，BC=4，∴AC==5．

∵ABBC=ACBH，∴BH=．在Rt△ABH中，AH==，分三種情況討論：

①當BA=BP1時，PC1=4﹣3=1．

②當BA=BP2時．∵BH⊥AP2，∴AH=HP2=，∴CP2=AC﹣AP2=5﹣=．

③當AB=AP3時，CP3=5﹣3=2．

綜上所述：滿足條件的PC的值為1或或2．

故答案為：1或或2．

（2）如圖2中，當以AD為直徑的⊙O與BC相切時，切點為P，此時∠APD=90°，AD的長最�。�

連接OP．則OP⊥BC，易證四邊形BPO，四邊形CDOP都是正方形，∴BC=AD=6，AB=CD=3，∴矩形ABCD面積的最小值為18．

（3）存在．如圖3中，如圖作等邊三角形ABM的外接圓⊙O，當直線CD與⊙O相切與P時，四邊形ABCD的面積最大，此時滿足條件∠APB=∠AMB=60°．

延長MO交AB與E，作OF⊥AD與F，PT⊥BC與T，連接OP．，PT交OM于R．

∵AB=3，AD∥BC，∠C=45°，∴CD=AB=3．

∵△ABM是等邊三角形，四邊形AEOF是矩形，∴AE=EB=NR=RT=，AF=EO=，OM=OP=，OR=PR=，∴BT=AN=+，PN=DN=TN﹣PT=3﹣﹣=，∴AD=AN﹣DN=﹣（）=，BC=BT+CT=++=，∴S四邊形ABCD=AB=（）=+3．