Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分別為AC，CD的中點(diǎn)，連結(jié)BM，MN．

（1）求證BM=MN；

（2）若∠BCN=135°，求∠BMN的度數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）90°

【解析】

（1）根據(jù)直角三角形斜邊中線性質(zhì)得出BM=AC，再根據(jù)中位線定理得出MN=AD，結(jié)合AC=AD即可得出結(jié)論；

（2）根據(jù)題意得出BM=CM=MN，從而得出∠MBC=∠BCM，∠MCN=∠MNC，結(jié)合∠BCN=135°，根據(jù)三角形內(nèi)角和以及∠BMN=∠BMC+∠CMN得出∠BMN的度數(shù).

解：（1）證明：∵∠ABC=90°，M為AC中點(diǎn)，

∴BM=AC，

∵N是CD中點(diǎn)，

∴MN=AD，

∵AC=AD，

∴BM=MN；

（2）∵點(diǎn)M是AC中點(diǎn)，

∴BM=AM=CM=MN，

∴∠MBC=∠BCM，∠MCN=∠MNC，

∵∠BCN=∠BCM+∠MCN=135°，

∴∠BMN=∠BMC+∠CMN

=180°-（∠BCM+∠MBC）+180°-（∠MCN+∠MNC）

=360°-2（∠BCM+∠MCN）

=360°-270°=90°.