Question

【題目】如圖，已知拋物線y=（x2﹣7x+6）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M，與x軸相交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C．

（1）用配方法將拋物線的解析式化為頂點(diǎn)式：y=a（x﹣h）2+k（a≠0），并指出頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）在拋物線的對(duì)稱軸上找點(diǎn)R，使得CR+AR的值最小，并求出其最小值和點(diǎn)R的坐標(biāo)；
（3）以AB為直徑作⊙N交拋物線于點(diǎn)P（點(diǎn)P在對(duì)稱軸的左側(cè)），求證：直線MP是⊙N的切線．

Answer 1

【答案】
（1）

【解答】解：∵y=（x2﹣7x+6）=（x2﹣7x）﹣3=（x﹣）2+，

∴拋物線的解析式化為頂點(diǎn)式為：y=（x﹣）2+，

頂點(diǎn)M的坐標(biāo)是（，）；

（2）

解：∵y=（x2﹣7x+6），

∴當(dāng)y=0時(shí)，（x2﹣7x+6）=0，

解得x=1或6，

∴A（1，0），B（6，0），

∵x=0時(shí)，y=﹣3，

∴C（0，﹣3）．

連接BC，則BC與對(duì)稱軸x=的交點(diǎn)為R，連接AR，

則CR+AR=CR+BR=BC，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知此時(shí)CR+AR的值最小，

最小值為BC==．

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，

∵B（6，0），C（0，﹣3），

∴，

解得，

∴直線BC的解析式為：y=x﹣3，

令x=，得y=×﹣3=，

∴R點(diǎn)坐標(biāo)為（，）；

（3）

證明：設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（x，x2+x﹣3）．

∵A（1，0），B（6，0），

∴N（，0），

∴以AB為直徑的⊙N的半徑為AB=，

∴NP=，

即（x﹣）2+（x2+x﹣3）2=（）2，

化簡(jiǎn)整理得，x4﹣14x3+65x2﹣112x+60=0，

（x﹣1）（x﹣2）（x﹣5）（x﹣6）=0，

解得x1=1（與A重合，舍去），x2=2，x3=5（在對(duì)稱軸的右側(cè)，舍去），x4=6（與B重合，舍去），

∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，2）．

∵M(jìn)（，），N（，0），

∴PM2=（2﹣）2+（2﹣）2=，

PN2=（2﹣）2+22==，

MN2=（）2=，

∴PM2+PN2=MN2，

∴∠MPN=90°，

∵點(diǎn)P在⊙N上，

∴直線MP是⊙N的切線．

【解析】（1）利用配方法先提出二次項(xiàng)系數(shù)，再加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方來(lái)湊完全平方式，即可把一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）連接BC，則BC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)為R，此時(shí)CR+AR的值最��；先求出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，進(jìn)而求出其最小值和點(diǎn)R的坐標(biāo)；
（3）設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（x，﹣x2+x﹣3）．根據(jù)NP=AB=列出方程（x﹣）2+（﹣x2+x﹣3）2=（）2 ， 解方程得到點(diǎn)P坐標(biāo)，再計(jì)算得出PM2+PN2=MN2 ， 根據(jù)勾股定理的逆定理得出∠MPN=90°，然后利用切線的判定定理即可證明直線MP是⊙N的切線．