Question

【題目】數(shù)學(xué)拓展課上，老師給出如下定義：如果三角形有一邊上的中線(xiàn)長(zhǎng)恰好等于該邊長(zhǎng)的1.5倍，那么稱(chēng)這個(gè)三角形為“趣味三角形”．

理解：

（1）如圖1，在△ABC中，AB=AC=，BC=2，試判斷△ABC是否為“趣味三角形”，并說(shuō)明理由．

（2）如圖2，已知△ABC是“趣味三角形”，AD，BE，CF分別是BC，AC，AB邊上的中線(xiàn)，且AD=BC，試探究BE和CF之間的位置關(guān)系.

（3）如圖3，直線(xiàn)l1∥l2 ， l1與l2之間的距離為2，點(diǎn)B，C在直線(xiàn)l1上，點(diǎn)A在直線(xiàn)l2上，AD，BE，CF分別是△ABC的邊BC，AC，AB上的中線(xiàn)．若△ABC是“趣味三角形”，BC=2．求BE2+CF2的值．

Answer 1

【答案】（1）△ABC為“趣味三角形”； 理由見(jiàn)解析；（2）BE⊥CF，理由見(jiàn)解析；（3）BE2+CF2的值為18或15或12.

【解析】

（1）因?yàn)棣?/span>ABC為等腰三角形，過(guò)A點(diǎn)作BC邊上的中線(xiàn)，然后利用勾股定理求出AD與BC的關(guān)系。（2）設(shè)三條中線(xiàn)的交點(diǎn)為點(diǎn)G，則點(diǎn)G為重心，根據(jù)比例求出直角三角形斜邊上中線(xiàn)等于斜邊的一半。（3）由“趣味三角形”三角形有一邊上的中線(xiàn)長(zhǎng)恰好等于該邊長(zhǎng)的1.5倍，AD=BC=3，再利用中線(xiàn)的性質(zhì)，線(xiàn)段成比例求出BE2+CF2的值。過(guò)E、A兩點(diǎn)分別向l1做垂線(xiàn)EH、EK。利用勾股定理求出.

（1）解：△ABC為“趣味三角形”。

如圖1，作AD⊥BC于點(diǎn)D．

∵AB=AC= ，∴BD=CD=1

∴AD= =3

∴AD=1.5BC．即△ABC為“趣味三角形”.

（2）解：如圖2，

設(shè)三條中線(xiàn)的交點(diǎn)為點(diǎn)G，則點(diǎn)G為重心。

∴AG:CD=2:1,即GD= AD

∵AD= BC, ∴GD= BC=BD=CD．

∴∠BGC=90°，即BE⊥CF

（3）解：①當(dāng)AD= BC=3時(shí)，BE⊥CF

∴BG2+CG2=BC2 ．

∵點(diǎn)G為重心，∴BE= BG,CF= CG

∴BE2+CF2= BG2+ CG2= BC2=AD2=18．

②當(dāng)BE= AC時(shí)（如圖3）

，

作EH⊥l1于點(diǎn)，AK⊥l1 ， 于點(diǎn)K

設(shè)CH=KH=x, ∴BE2=(2 +x)2+12,AC2=(2x)2+22 ．

∵BE= AC, ∴BE2=AC2 ， ∴ (2 +x)2+12=(4x2+4)．

解得x=0或x= ，此時(shí)有CF2+AD2=BE2 ．

∴當(dāng)x=0時(shí)，BE2+CF2=2BE2-AD2=2[(2 )2+12]-[22+( )2]=12．

當(dāng)x=時(shí)，BE2+CF2=2BE2-AD2=2[()2+12]-[22+(2 )2]=15

③當(dāng)CF= AB時(shí)，同②解法，BE2+CF2=12或15．

綜上所述BE2+CF2的值為18或15或12.