Question

【題目】（概念認(rèn)識(shí)）

若以三角形某邊上任意一點(diǎn)為圓心，所作的半圓上的所有點(diǎn)都在該三角形的內(nèi)部或邊上，則將符合條件且半徑最大的半圓稱(chēng)為該邊關(guān)聯(lián)的極限內(nèi)半圓．

如圖①，點(diǎn)P是銳角△ABC的邊BC上一點(diǎn)，以P為圓心的半圓上的所有點(diǎn)都在△ABC的內(nèi)部或邊上．當(dāng)半徑最大時(shí)，半圓P為邊BC關(guān)聯(lián)的極限內(nèi)半圓．

（初步思考）

（1）若等邊△ABC的邊長(zhǎng)為1，則邊BC關(guān)聯(lián)的極限內(nèi)半圓的半徑長(zhǎng)為 ．

（2）如圖②，在鈍角△ABC中，用直尺和圓規(guī)作出邊BC關(guān)聯(lián)的極限內(nèi)半圓（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）．

（深入研究）

（3）如圖③，∠AOB＝30°，點(diǎn)C在射線OB上，OC＝6，點(diǎn)Q是射線OA上一動(dòng)點(diǎn)．在△QOC中，若邊OC關(guān)聯(lián)的極限內(nèi)半圓的半徑為r，當(dāng)1≤r≤2時(shí)，求OQ的長(zhǎng)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）OQ≥－

【解析】

（1）過(guò)P作AB垂線交于D點(diǎn)，根據(jù)直角三角形即可得出半徑；

（2）過(guò)點(diǎn)C作BC的垂線交AB于點(diǎn)D，再作∠BDC的平分線交BC于點(diǎn)P．以點(diǎn)P為圓心，CP為半徑在△ABC的內(nèi)部作半圓即可．

（3）分情況討論，當(dāng)r＝1時(shí)，OQ取得最小值，設(shè)QM＝x，解直角三角形可求得OP=2，,OM=，解Rt△PCN，可得到CN＝．OQ＝OM＋MQ＝＋x，CQ＝CN＋NQ＝＋x，根據(jù)S△OPQ∶S△CPQ＝OP∶PC＝1∶2，PM＝PN，得出OQ∶QC＝1∶2，所以QC＝2OQ，則＋x＝2(＋x)，x＝-2，所以OQ＝-．當(dāng)r＝2時(shí)，半圓P經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作OB的垂線交OA于點(diǎn)D．由（2）知，當(dāng)Q在射線DA上時(shí)，OQ4，均符合題意．整合結(jié)果可得，當(dāng)1≤r≤2時(shí)，OQ－．

解：（1）如圖，過(guò)P作AB垂線交于D點(diǎn)，

∵△ABC為等邊三角形，邊長(zhǎng)為1，

∴∠DBP=60°，BP= ，

∴R=DP=BP×sin60°=．

（2）過(guò)點(diǎn)C作BC的垂線交AB于點(diǎn)D，再作∠BDC的平分線交BC于

點(diǎn)P．以點(diǎn)P為圓心，CP為半徑在△ABC的內(nèi)部作半圓，如圖：

（3）當(dāng)r＝1時(shí)，OQ取得最小值．

如圖①，半圓P與OQ、QC分別相切于點(diǎn)M、N，連接PQ．

設(shè)QM＝x，則QN＝QM＝x．

在Rt△OPM中，∠OMP＝90°，∠AOB＝30°，PM＝1，

∵sin∠AOB＝，tan∠AOB＝，

∴OP＝＝2，OM＝＝．

∴PC＝OC－OP＝4．

在Rt△PCN中，∠PNC＝90°，PN＝1，PC＝4，

∴CN＝＝．

∴OQ＝OM＋MQ＝＋x，CQ＝CN＋NQ＝＋x．

∵S△OPQ∶S△CPQ＝OP∶PC＝1∶2，且PM＝PN，

∴OQ∶QC＝1∶2．

∴QC＝2OQ．

∴＋x＝2(＋x)，

解得x＝-2．

∴OQ＝-2．

當(dāng)r＝2時(shí)，半圓P經(jīng)過(guò)點(diǎn)C．

如圖②，過(guò)點(diǎn)C作OB的垂線交OA于點(diǎn)D．

由（2）知，當(dāng)Q在射線DA上時(shí)，OQ4，均符合題意．

∴當(dāng)1r2時(shí)，OQ－．