Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，點E是射線CB上的一個動點，把△DCE沿DE折疊，點C的對應點為C′．

（1）若點C′剛好落在對角線BD上時，BC′=；
（2）當B C′∥DE時，求CE的長；
（3）若點C′剛好落在線段AD的垂直平分線上時，求CE的長．

Answer 1

【答案】
（1）4
（2）

解：如圖2，由折疊得，∠CED=∠C′ED，

∵BC′∥DE，

∴∠EC′B=∠C′ED，∠CED=∠C′BE，

∴∠EC′B=∠C′EB，

∴BE=C′E=EC=4；

（3）

解：作AD的垂直平分線，交AD于點M，交BC于點N，分兩種情況討論：

①當點C′在矩形內部時，如圖3，

∵點C′在AD的垂直平分線上，

∴DM=4，

∵DC′=6，

∴由勾股定理得：MC′=2 ，

∴NC′=6﹣2 ，

設EC=x，則C′E=x，NE=4﹣x，

∵NC′2+NE2=C′E2，

∴（6﹣2 ）2+（4﹣x）2=x2，

解得：x=9﹣3 ，

即CE=9﹣3 ；

②當點C′在矩形外部時，如圖4，

∵點C′在AD的垂直平分線上，

∴DM=4，

∵DC′=6，

∴由勾股定理得：MC′=2 ，

∴NC′=6+2 ，

設EC=y，則C′E=y，NE=y﹣4，

∵NC′2+NE2=C′E2，

∴（6+2 ）2+（y﹣4）2=y2，

解得：y=9+3 ，

即CE=9+3 ，

綜上所述，CE的長為9±3 ．

【解析】解：（1）如圖1，由折疊可得DC'=DC=6，
∵∠C=90°，BC=8，
∴Rt△BCD中，BD=10，
∴BC′=10﹣6=4．
所以答案是4；

【考點精析】解答此題的關鍵在于理解翻折變換（折疊問題）的相關知識，掌握折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，對稱軸是對應點的連線的垂直平分線，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和角相等．