Question

【題目】定義：在平面直角坐標系中，圖形G上點P（x，y）的縱坐標y與其橫坐標x的差y﹣x稱為點P的“坐標差”，而圖形G上所有點的“坐標差”中的最大值稱為圖形G的“特征值”．

（1）求點A（2，1）的“坐標差”和拋物線y＝﹣x2+3x+4的“特征值”．

（2）某二次函數(shù)＝﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”為﹣1，點B與點C分別是此二次函數(shù)的圖象與x軸和y軸的交點，且點B與點C的“坐標差”相等，求此二次函數(shù)的解析式．

（3）如圖所示，二次函數(shù)y＝﹣x2+px+q的圖象頂點在“坐標差”為2的一次函數(shù)的圖象上，四邊形DEFO是矩形，點E的坐標為（7，3），點O為坐標原點，點D在x軸上，當二次函數(shù)y＝﹣x2+px+q的圖象與矩形的邊有四個交點時，求p的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)-1,5;(2) y＝﹣x2+3x﹣2；(3) 2＜p＜10.

【解析】

（1）1-2=-1，故“坐標差”為-1，y-x=-x2+3x+4-x=-（x-1）2+5，故“特征值”為5；

（2）由題意得：點C（0，c），故點B、C的“指標差”相等，故點B（-c，0），把點B的坐標代入y=-x2+（1-c）x+c得：0=-（-c）2+b（-c）+c，解得：b=1-c，故：y=-x2+（1-c）x+c，故拋物線的“特征值”為-1，y-x=-x2+（1-c）x+c-x=-x2-cx+c，故=-1，即可求解；

（3）“坐標差”為2的一次函數(shù)為：y=x+2，對于圖1，直線與矩形邊的交點為：（1，3），則對稱軸為：-=1，解得：p=2，對于圖2，把點E（7，3）代入y=-（x-m）2+m+2并解得：m=5或10（舍去10），即可求解．

解：（1）1﹣2＝﹣1，故“坐標差”為﹣1，

y﹣x＝﹣x2+3x+4﹣x＝﹣（x﹣1）2+5，故“特征值”為5；

（2）由題意得：點C（0，c），且點B、C的“坐標差”相等，

故點B（﹣c，0），把點B的坐標代入y＝﹣x2+bx+c得：

0＝﹣（﹣c）2+b（﹣c）+c，

解得：b＝1﹣c，

故：y＝﹣x2+（1﹣c）x+c，

故拋物線的“特征值”為﹣1，

∴y﹣x＝﹣x2+（1﹣c）x+c﹣x＝﹣x2﹣cx+c，

故＝﹣1．

∴c＝﹣2，b＝3，

故拋物線的表達式為：y＝﹣x2+3x﹣2；

（3）“坐標差”為2的一次函數(shù)為：y＝x+2，

∵拋物線y＝﹣x2+px+q的圖象的頂點在y＝x+2上，

∴設拋物線的表達式為：y＝﹣（x﹣m）2+m+2，

當拋物線與矩形有3個交點時，如圖1、2，

對于圖1，直線與矩形邊的交點為：（1，3），

則對稱軸為：﹣＝1，解得：p＝2，

對于圖2，把點E（7，3）代入y＝﹣（x﹣m）2+m+2并解得：

m＝5或10（舍去10），

故﹣＝5，解得：p＝10，

故二次函與矩形的邊有四個交點時，求p的取值范圍：2＜p＜10．