Question

【題目】如圖，在直角梯形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，且AD＝4cm，AB＝6cm，DC＝10cm.若動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒4cm的速度沿線段AD、DC向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)以每秒5cm的速度沿CB向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)Q點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，并運(yùn)動(dòng)了t秒，

(1)直角梯形ABCD的BC為_____cm，周長為______cm.

(2)當(dāng)t為多少時(shí)，四邊形PQCD成為平行四邊形？

(3)是否存在t，使得P點(diǎn)在線段DC上且PQ⊥DC？若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】(1)12，32；(2)t＝；(3)存在，t＝秒，使得P點(diǎn)在線段DC上且PQ⊥DC.

【解析】

(1)過點(diǎn)D作DE⊥BC于E，證出四邊形ABED是矩形，根據(jù)矩形的對(duì)邊相等求出DE、BE，再利用勾股定理求出CE，求出BC，即可得出周長；

(2)表示出PD、CQ，然后根據(jù)DP＝CQ列出方程，然后求解即可；

(3)由面積法求出PQ＝3t，由勾股定理求出CP＝4t，由題意得出方程，解方程即可.

(1)如圖1所示，過點(diǎn)D作DE⊥BC于E，

∵∠B＝90°，AD∥BC，

∴四邊形ABED是矩形，

∴DE＝AB＝6cm，BE＝AD＝4cm，

由勾股定理得， (cm)，

∴BC＝BE+CE＝4+8＝12cm，

∴直角梯形的周長＝AD+AB+BC+DC＝4+6+12+10＝32(cm)；

故答案為：12，32；

(2)由題意得：AP＝4t，CQ＝5t，

∴DP＝AD﹣AP＝4﹣4t，

∵DP∥CQ，

∴當(dāng)DP＝CQ時(shí)，四邊形PQCD成為平行四邊形，

則4﹣4t＝5t，

解得：t＝；

即t為秒時(shí)，四邊形PQCD成為平行四邊形；

(3)存在t，使得P點(diǎn)在線段DC上且PQ⊥DC，理由如下：

作DE⊥BC于E，連接DQ，如圖2所示：

∵點(diǎn)P在CD上，

∴CP＝14﹣4t，

∵PQ⊥CD，DE⊥BC，

∴，

∴，

在Rt△PCQ中，由勾股定理得：，

∴，

解得：t＝

此時(shí)，，

∴存在t＝秒，使得P點(diǎn)在線段DC上且PQ⊥DC.