Question

【題目】四邊形是菱形，，

（1）如圖1，作的平分線，交于（不寫(xiě)作法和證明，保留作圖痕跡）

（2）在（1）的條件下，點(diǎn)在直線上，最大值時(shí)，求的長(zhǎng)

（3）如圖2，，分別是線段，上的動(dòng)點(diǎn)，，求四邊形周長(zhǎng)的最小值.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）；（3）

【解析】

（1）根據(jù)角平分線尺規(guī)作圖的方法作圖即可；

（2）先在直線OP上任取一點(diǎn)P，根據(jù)OD是AB的垂直平分線，根據(jù)PA=PB得出PC－PB<BC，得出當(dāng)P、B、C三點(diǎn)共線的時(shí)候最大，結(jié)合等腰三角形三線合一以及三角函數(shù)即可求出OP的長(zhǎng)

（3）先證明△ABE≌△OBF，得到AE=OF，可得四邊形周長(zhǎng)等于2BE+OA，可得出當(dāng)BE最短時(shí)，四邊形周長(zhǎng)最小，再根據(jù)垂線段最短，可得當(dāng)BE垂直AO時(shí)，BE最短，再根據(jù)三角函數(shù)求出此時(shí)BE的長(zhǎng)

解：（1）作圖如下：

（2）如圖：在直線OD上任取一點(diǎn)P，連接PA、PB、PC

∵是菱形，

∴∠OAB=60°，∠AOB=120°

∴；

∴△AOB為等邊三角形

∵OD平分∠AOB

∴OD⊥AB，且D為AB中點(diǎn)；

∴OD為AB的垂直平分線

∴PA=PB

∴

∴當(dāng)P、B、C三點(diǎn)共線時(shí)，有最大值，即有最大值

如下圖，延長(zhǎng)CB交OD于P，點(diǎn)即為所求

∵∠OBC=60°

∴∠OBP=120°

又∵∠DOB=30°

∴∠OPD=30°

∴OB=PB

∵OD⊥AB

∴D為OP中點(diǎn)

在Rt△OBD中，OB=6，∠DOB=30°

∴

∴OP=2OD=

即：當(dāng)OP=時(shí)，有最大值

（3）如圖，連接EF

∵由（1）知△AOB為等邊三角形

∴∠ABO=∠ABE+∠EBO=60°

∵∠EBF=∠OBF+∠EBO=60°

∴∠ABE=∠OBF

在△ABE與△OBF中

∴△ABE≌△OBF（ASA）

∴BE=BF，AE=OF

∵四邊形周長(zhǎng)=BE+BF+OF+OE=2BE+AE+OE=2BE+OA

∵OA=OB=6

∴四邊形周長(zhǎng)=2BE+6

∴當(dāng)BE最小時(shí)，四邊形周長(zhǎng)最小

∴當(dāng)BE⊥OA時(shí)，BE最短

在Rt△ABE中，∠A=60°，AB=6

∴

∴四邊形周長(zhǎng)最小值是

故答案為：