【題目】如圖所示,在平面直角坐標系xOy中,RtAOB的直角邊OBOA分別在x軸上和y軸上,其中OA=2OB=4,現(xiàn)將RtAOB繞著直角頂點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到COD,已知一拋物線經(jīng)過C、D、B三點.

1)該拋物線的解析式為  ;

2)設(shè)點E是拋物線上位于第一象限的動點,過點EEFx軸于點F,并交直線ABN,過點E再作EMAB于點M,求EMN周長的最大值;

3)當EMN的周長最大時,在直線EF上是否存在點Q,使得QCD是以CD為直角邊的直角三角形?若存在請求出點Q的坐標,若不存在,請說明理由.

【答案】(1)y=+x+4;(2)最大值為;(3)存在,當點Q的坐標為()或(,)時,使得QCD是以CD為直角邊的直角三角形

【解析】

1)設(shè)拋物線的解析式為.由線段OA、OB的長度可得出點AB的坐標,再由旋轉(zhuǎn)的特性可得出點CD的坐標,由點B、C、D三點的坐標利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式;

2)在RtAOB中,求出∠ABO的正弦余弦值,再根據(jù)相似三角形的判定定理找出△EMN∽△BFN,從而得出∠MEN=FBN,用EN的長度來表示出EMMN的長度,由點A、B的坐標利用待定系數(shù)法求出直線AB的函數(shù)解析式,設(shè)出點E的坐標為 0t4),即可找出點N的坐標為,從而得出線段EN的長度,將EN、MNEM相加即可得出△EMN的周長,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求出EN的最大值,由此即可得出結(jié)論;

3)結(jié)合(2)的結(jié)論可知直線EF的解析式為,分∠QDC=90°和∠DCQ=90°兩種情況來考慮,利用相似三角形的性質(zhì)找出相似邊的比例關(guān)系來找出線段的長度,再根據(jù)點與點間的數(shù)量關(guān)系即可找出點Q的坐標.

解:(1)設(shè)拋物線的解析式為

OA=2,OB=4,

∴點A0,2),點B4,0),

由旋轉(zhuǎn)的特性可知:

C(﹣2,0),點D0,4).

將點B40)、點C(﹣2,0)、點D0,4)代入到拋物線解析式得:

,解得:

∴該拋物線的解析式為

故答案為:

2)依照題意畫出圖形,如圖1所示.

RtAOB中,OA=2,OB=4,

AB=

sinABO=,cosABO=

EMAB,EFOB,

∴∠EMN=BFN=90°

∵∠BNF=ENM,

∴△EMN∽△BFN,

∴∠MEN=FBN

RtEMN中,sinMEN=,cosMEN=,

MN=ENsinMEN=ENsinABO=EN,

EM=ENcosMEN=ENcosABO=EN

CEMN=EM+MN+EN=EN+EN+EN=EN

由(1)知A02)、B40),設(shè)直線AB的解析式為:y=kx+2,

4k+2=0,解得:k=,

∴直線AB的解析式為:

設(shè)拋物線上點E的坐標為0t4),

EFOB,

∴令y=+2x=ty=+2,

∴點N的坐標為(t,﹣t+2),

EN=+t+4﹣(﹣t+2=+t+2

CEMN=(﹣+t+2=0t4).

∴當時,EN最大,此時CEMN最大,

CEMN最大為: [+2]=

3)由(2)知,當CEMN取最大值時,EF的解析式為:x=

①若∠QDC=90°,過點QQGy軸于點G,如圖2所示.

EF的解析式為:x=

QG=,

∵∠QDG+DQG=90°,∠CDO+QDG=90°,

∴∠DGQ=CDO,

又∵∠QGD=DOC=90°,

∴△QDG∽△DCO,

,

DG=2×

OG=ODDG=4,

∴點Q的坐標為(,);

②若∠DCQ=90°,如圖3所示.

CF=﹣(﹣2=,

∵∠QCF+OCD=90°,∠CDO+OCD=90°,

∴∠QCF=CDO,

又∵∠CFQ=DOC=90°,

∴△COD∽△QFC,

,即,

FQ=

∴點Q的坐標為(,).

綜上所述,當點Q的坐標為(,)或(,)時,使得QCD是以CD為直角邊的直角三角形.

練習冊系列答案
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-1

0

1

2

3

4

6

1

-2

-3

-2

m

下面有四個論斷:

①拋物線的頂點為;

;

③關(guān)于的方程的解為;

其中,正確的有___________________

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∵∠D=N,∴∠DMI=NAI(同弧所對的圓周角相等),

∴△MDI∽△ANI.,∴ IA ID IM IN

如圖②,在圖 1(隱去 MDAN)的基礎(chǔ)上作⊙O 的直徑DE,連接BE,BDBI,IF

DE 是⊙O 的直徑,∴∠DBE=90°.

∵⊙I AB 相切于點 F,∴∠AFI=90°,

∴∠DBE=IFA.

∵∠BAD=E(同弧所對圓周角相等),

∴△AIF∽△EDB

,∴②,

由(2)知:,

又∵,

2Rr(R d )(R d )

R d 2Rr

d R 2Rr

任務(wù):(1)觀察發(fā)現(xiàn): IM R d , IN (用含Rd 的代數(shù)式表示);

2)請判斷 BD ID 的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.(請利用圖 1 證明)

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