【題目】如圖,在△ABC中,AC的中點(diǎn)為D,BC的中點(diǎn)為E,F(xiàn)是DE的中點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)G在邊AB上,連接GF,延長(zhǎng)GF到點(diǎn)H,使HF=GF,連接HD,HE.
(1)求證:四邊形HDGE是平行四邊形.
(2)已知∠C=90°,∠A=30°,AB=4.
①當(dāng)AG為何值時(shí),四邊形HDGE是矩形;
②當(dāng)AG為何值時(shí),四邊形HDGE是菱形.
【答案】
(1)
證明:∵HF=GF,DF=EF,
∴四邊形HDGE是平行四邊形
(2)
解:∵∠C=90°,∠A=30°,AB=4,
∴AC=ABcom∠A=4× =2 ,BC=4× =2,∠B=60°,
∵AC的中點(diǎn)為D,BC的中點(diǎn)為E,F(xiàn)是DE的中點(diǎn),
∴BE=1,DE= AB=2,AD=CD= ,DF=EF=1,DE∥AB,
∴∠CBD=∠B=60°,
① 當(dāng)AG=3或2時(shí),四邊形HDGE是矩形,
當(dāng)AG=3時(shí),如圖1,
BG=4﹣3=1,
∴BG=CE,
BG=BE=EG=1=CE,DE=DE,∠CED=∠DEG=60°,
在△DGE和△DCE中, ,
∴△DGE≌△DCE,
∴∠DGE=∠DCE=90°,
∴四邊形HDGE是矩形;
當(dāng)AG=2時(shí),則AG=BG,
∴DG∥CE,EG∥AC,H,C重合,
∴∠DCE=90°,∴四邊形HDGE是矩形,如圖2;
②過(guò)F作MN⊥DE,交AC于M,AB與N,
∵DE∥AB,
∴MN⊥AB,∠MDF=∠A=30°,
∵F是DE的中點(diǎn),
∴MN是線段DE的垂直平分線,
∴ND=NE,
∵DF=1,MB= ,
∵AD= ,
∴AM= ,
∴AN=AMcom∠A= = ,
當(dāng)AG=AN= 時(shí),G在DE的中垂線上,DG=GE,四邊形HDGE是菱形.
【解析】(1)由平行四邊形的判定直接推出;(2)根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AB=4,求得AC=2 ,BC=4× =2,∠B=60°,根據(jù)三角形的中位線得到BE=1,DE=2,AD= ,DF=EF=1,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠CBD=∠B=60°,①當(dāng)AG=3或2時(shí),四邊形HDGE是矩形.當(dāng)AG=3時(shí),根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠DGE=∠DCE=90°,于是得到四邊形HDGE是矩形;當(dāng)AG=2時(shí),則AG=BG,推出∠DCE=90°,于是得到四邊形HDGE是矩形;②過(guò)F作MN⊥DE,交AC于M,AB與N,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠MDF=∠A=30°根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到ND=NE,求得AN=AMcom∠A= ,當(dāng)AG=AN= 時(shí),G在DE的中垂線上,根據(jù)菱形的判定即可得到結(jié)論.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了兩點(diǎn)間的距離的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握同軸兩點(diǎn)求距離,大減小數(shù)就為之.與軸等距兩個(gè)點(diǎn),間距求法亦如此.平面任意兩個(gè)點(diǎn),橫縱標(biāo)差先求值.差方相加開(kāi)平方,距離公式要牢記才能正確解答此題.
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(1)直接寫出點(diǎn)B坐標(biāo);
(2)求拋物線的解析式;
(3)請(qǐng)用含m的代數(shù)式表示線段PC的長(zhǎng);
(4)若點(diǎn)P在線段AB上移動(dòng),請(qǐng)直接寫出△PAC為直角三角形時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).
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【題目】下列函數(shù)的圖像在每一個(gè)象限內(nèi), 值隨值的增大而增大的是( )
A. B. C. D.
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【題目】如圖所示,下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是( )
A.∵∠A+∠ADC=180°,∴AB∥CD
B.∵AB∥CD,∴∠ABC+∠C=180°
C.∵∠1=∠2,∴AD∥BC
D.∵AD∥BC,∴∠3=∠4
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【題目】某彈簧的長(zhǎng)度與所掛物體質(zhì)量之間的關(guān)系如下表:
所掛物體的質(zhì)量/千克 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
彈簧的長(zhǎng)度/厘米 | 10 | 10.4 | 10.8 | 11.2 | 11.6 | 12 |
(1)如果所掛物體的質(zhì)量用x表示,彈簧的長(zhǎng)度用y表示,請(qǐng)直接寫出y與x滿足的關(guān)系式.
(2)當(dāng)所掛物體的質(zhì)量為10千克時(shí),彈簧的長(zhǎng)度是多少?
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【題目】已知:如圖,在半徑為4的⊙O中,AB、CD是兩條直徑,M為OB的中點(diǎn),CM的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)E,且EM>MC.連結(jié)DE,DE=.
(1)求證:;
(2)求EM的長(zhǎng);
(3)求sin∠EOB的值.
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