Question

（本題11分）如圖，在正方形ABCD中， AB=5，P是BC邊上任意一點(diǎn)，E是BC延長線上一點(diǎn)，連接AP，作PF⊥AP，使PF＝PA，連接CF，AF，AF交CD邊于點(diǎn)G，連接PG．

（1）求證：∠GCF＝∠FCE；

（2）判斷線段PG，PB與DG之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（3）若BP＝2，在直線AB上是否存在一點(diǎn)M，使四邊形DMPF是平行四邊形，若存在，求出BM的長度，若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）證明詳見解析；（2）PG＝PB＋DG，理由詳見解析；（3）存在，當(dāng)BM=3，BM+AM=AB時(shí)，四邊形DMPF是平行四邊形．

【解析】

試題分析：（1）過點(diǎn)F作FH⊥BE于點(diǎn)H，利用正方形的性質(zhì)，證得△BAP≌△HPF得出PH＝AB，BP＝FH，進(jìn)一步得出BP＋PC＝PC＋CH，CH＝BP＝FH，∠FHC＝90，求得∠DCF＝90-45°=45°得出結(jié)論；

（2）延長PB至K，使BK=DG，連接AK，證得△ABK≌△ADG和△KAP≌△GAP，找出邊相等得出結(jié)論；

（3）首先判斷存在，在直線AB上取一點(diǎn)M，使四邊形DMPF是平行四邊形，證得△ABP≌△DAM，進(jìn)一步求得結(jié)論即可.

試題解析：（1）證明：過點(diǎn)F作FH⊥BE于點(diǎn)H，

∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠PHF＝∠DCB＝90,AB＝BC，

∴∠BAP＋∠APB＝90，

∵AP⊥PF，∴∠APB＋∠FPH＝90，∴∠FPH＝∠BAP ，

又∵AP＝PF，∴△BAP≌△HPF，

∴PH＝AB，BP＝FH，

∴PH＝BC，

∴BP＋PC＝PC＋CH，

∴CH＝BP＝FH，

而∠FHC＝90，∴∠FCH＝∠CFH＝45，

∴∠DCF＝90－45＝45，

∴∠GCF＝∠FCE，

（2）PG＝PB＋DG，理由如下：

延長PB至K，使BK=DG,

∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD, ∠ABK＝ADG=90，

∴△ABK≌△ADG，∴AK=AG, ∠KAB＝∠GAD，

而∠APF=90 ，AP=PF，∴∠PAF＝∠PFA＝45 ，

∴∠BAP＋∠KAB＝∠KAP＝45 ＝∠PAF，

∴△KAP≌△GAP，

∴KP=PG,

∴KB＋BP=DG＋BP＝PG，

即，PG＝PB＋DG；

（3）存在．

如圖，在直線AB上取一點(diǎn)M，使四邊形DMPF是平行四邊形，

則MD∥PF，且MD＝FP，

又∵PF=AP，∴MD=AP，

∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠ABP=∠DAM，

∴△ABP≌△DAM，∴AM＝BP=2，

∴BM＝AB－AM=5－2=3．

∴當(dāng)BM=3，BM+AM=AB時(shí)，四邊形DMPF是平行四邊形．

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定和性質(zhì)；平行四邊形的判定.

考點(diǎn)分析： 考點(diǎn)1：四邊形 四邊形：四邊形的初中數(shù)學(xué)中考中的重點(diǎn)內(nèi)容之一，分值一般為10-14分，題型以選擇，填空，解答證明或融合在綜合題目中為主，難易度為中。主要考察內(nèi)容：①多邊形的內(nèi)角和，外角和等問題②圖形的鑲嵌問題③平行四邊形，矩形，菱形，正方形，等腰梯形的性質(zhì)和判定。突破方法：①掌握多邊形，四邊形的性質(zhì)和判定方法。熟記各項(xiàng)公式。②注意利用四邊形的性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)四邊形的證明。③注意開放性題目的解答，多種情況分析。 試題屬性

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