【題目】在平面直角坐標系中,已知點A在y軸的正半軸上,點B在第二象限,AO=a,AB=b,BO與x軸正方向的夾角為150°,且a2b2+ab=0.
(1)試判定△ABO的形狀;
(2)如圖1,若BC⊥BO,BC=BO,點D為CO的中點,AC、BD交于E,求證:AE=BE+CE;
(3)如圖2,若點E為y軸的正半軸上一動點,以BE為邊作等邊△BEG,延長GA交x軸于點P,問:AP與AO之間有何數(shù)量關(guān)系?試證明你的結(jié)論.
【答案】(1)△AOB為等邊三角形,理由見解析;(2)見解析;(3)AP=2AO,證明見解析;
【解析】
(1)△ABO為等邊三角形,理由為:根據(jù)(a2-b2)+(a-b)=0,得到a=b,再由BO與x軸正方向的夾角為150°得到∠AOB=60°,即可得證;
(2)在AC上截取AM=CE,先證∠AEB=60°,方法是根據(jù)題意得到△ABO為等邊三角形,△BOC為等腰直角三角形,確定出∠ABD度數(shù),根據(jù)AB=BC,且∠ABC=120°,得到∠BAE度數(shù),進而確定出∠AEB為60°,再由AM=CE,得到AE=CM,再由AB=CB,且夾角∠BAC=∠BCA,利用SAS得到△BCM與△BAE全等,利用全等三角形的對應(yīng)邊相等得到BM=BE,得到△BEM為等邊三角形,得到BE=EM,由AE=EM+AM,等量代換即可得證;
(3)AP=2AO,理由為:由題意得到BG=BE,AB=OB,利用等式的性質(zhì)得到∠ABG=∠OBE,利用SAS得到△ABG與△OBE全等,利用全等三角形的對應(yīng)角相等得到∠GAB=∠BOE=60°,利用外角的性質(zhì)得到∠APO=30°,在Rt△AOP中,利用30度角所對的直角邊等于斜邊的一半得到AP=2AO.
(1)結(jié)論:△ABO為等邊三角形,
理由:∵a2b2+ab=(a+b)(ab)+(ab)=(ab)(a+b+1)=0,
∴ab=0,得到a=b,即AO=AB
∵OB與x軸正半軸夾角為150°
∴∠AOB=150°90°=60°
∴△AOB為等邊三角形;
(2)證明:在AC上截取AM=EC,可得AM+EM=CE+EM,即AE=CM.
∵△AOB為等邊三角形,△BOC為等腰直角三角形
∴∠OBC=90°,∠ABO=60°
∵D為CO的中點
∴BD平分∠OBC,即∠CBD=∠OBD=45°
∴∠ABD=105°,∠ABC=150°
∴∠BAC=∠BCA=15°
∴∠AEB=60°
在△ABE和△CBM中
,
∴△ABE≌△CBM(SAS)
∴BM=BE
∴△BEM為等邊三角形
∴BE=EM
∴AE=AM+EM=CE+BE;
(3)結(jié)論:AP=2AO,
理由:∵△AOB與△BGE都為等邊三角形
∴BE=BG,AB=OB,∠EBG=∠OBA=60°
∴∠EBG+∠EBA=∠OBA+∠EBA
即∠ABG=∠OBE
在△ABG和△OBE中
,
∴△ABG≌△OBE(SAS)
∴∠BAG=∠BOE=60°
∴∠GAO=∠GAB+∠BAO=120°
∵∠GAO為△AOP的外角
且∠AOP=90°
∴∠APO=30°
在Rt△AOP中,∠APO=30°
∴AP=2AO.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方形網(wǎng)格中,每個小正方形的邊長都是1,每個小正方形的頂點叫做格點.網(wǎng)格中有一個格點△ABC(即三角形的頂點都在格點上).
(1)在圖中作出△ABC關(guān)于直線l對稱的△A1B1C1 (要求A與A1,B與B1,C與C1相對應(yīng));
(2)求△ABC的面積;
(3)在直線l上找一點P,使得△PAC的周長最。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點A、B在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)分別是a,b,且.
(1)求AB的長;
(2)點C在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為x,且x是方程2x-1x+2的解,在數(shù)軸上是否存在點P,使PA+PBPC,若存在,直接寫出點P對應(yīng)的數(shù);若不存在,說明理由;
(3)在(2)的條件下,若P是A左側(cè)的點,現(xiàn)點P、點A以每秒6個單位長度的速度向右勻速運動,同時點B、點C以每秒2個單位長度的速度向左勻速運動,是否存在t的值,使P到C的距離是A到B的距離的兩倍?若存在,求出t值;若不存在,說明理由.
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【題目】如圖,四邊形ABCD∽四邊形GFEH,且∠A=∠G=70°,∠B=55°,∠E=120°,DC=20,HE=15,HG=21.求∠D,∠F的大小和AD的長.
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【題目】如圖,E是正方形ABCD的邊AB上的動點,EF⊥DE交BC于點F.
(1)求證:△ADE∽△BEF.
(2)設(shè)正方形的邊長為4,AE=x,BF=y.當x取什么值時,y有最大值?并求出這個最大值.
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【題目】(10分)如圖,ABCD中,點E,F(xiàn)在直線AC上(點E在F左側(cè)),BE∥DF.
(1)求證:四邊形BEDF是平行四邊形;
(2)若AB⊥AC,AB=4,BC=,當四邊形BEDF為矩形時,求線段AE的長.
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【題目】如圖,在△ABC中,AD為∠BAC的平分線,DG⊥BC且平分BC,DE⊥AB于E,DF⊥AC交AC的延長線于F.
(1)求證:BE=CF;
(2)如果AB=7,AC=5,求AE,BE的長.
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【題目】(問題)
如圖1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,過點C作直線l平行于AB.∠EDF=90°,點D在直線l上移動,角的一邊DE始終經(jīng)過點B,另一邊DF與AC交于點P,研究DP和DB的數(shù)量關(guān)系.
(探究發(fā)現(xiàn))
(1)如圖2,某數(shù)學(xué)興趣小組運用“從特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想,發(fā)現(xiàn)當點D移動到使點P與點C重合時,通過推理就可以得到DP=DB,請寫出證明過程;
(數(shù)學(xué)思考)
(2)如圖3,若點P是AC上的任意一點(不含端點A、C),受(1)的啟發(fā),這個小組過點D作DG⊥CD交BC于點G,就可以證明DP=DB,請完成證明過程;
(拓展引申)
(3)如圖4,在(1)的條件下,M是AB邊上任意一點(不含端點A、B),N是射線BD上一點,且AM=BN,連接MN與BC交于點Q,這個數(shù)學(xué)興趣小組經(jīng)過多次取M點反復(fù)進行實驗,發(fā)現(xiàn)點M在某一位置時BQ的值最大.若AC=BC=4,請你直接寫出BQ的最大值.
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