【題目】如圖1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,動點P從點A開始沿邊AC向點C以1個單位長度的速度運動,動點Q從點C開始沿邊CB向點B以每秒2個單位長度的速度運動,過點P作PD∥BC,交AB于點D,連接PQ分別從點A、C同時出發(fā),當其中一點到達端點時,另一點也隨之停止運動,設(shè)運動時間為t秒(t≥0).

(1)直接用含t的代數(shù)式分別表示:QB=   ,PD=   

(2)是否存在t的值,使四邊形PDBQ為菱形?若存在,求出t的值;若不存在,說明理由.并探究如何改變Q的速度(勻速運動),使四邊形PDBQ在某一時刻為菱形,求點Q的速度;

(3)如圖2,在整個運動過程中,求出線段PQ中點M所經(jīng)過的路徑長.

【答案】18-2t.(2)不存在;當點Q的速度為每秒個單位長度時,經(jīng)過秒,四邊形PDBQ是菱形.(3)線段PQ中點M所經(jīng)過的路徑長為2單位長度.

【解析】試題分析:(1)根據(jù)題意得:CQ=2t,PA=t,由RtABC中,C=90°,AC=6BC=8,PDBC,即可得tanA=,則可求得QBPD的值;

2)易得△APD∽△ACB,即可求得ADBD的長,由BQ∥DP,可得當BQ=DP時,四邊形PDBQ是平行四邊形,即可求得此時DPBD的長,由DP≠BD,可判定PDBQ不能為菱形;然后設(shè)點Q的速度為每秒v個單位長度,由要使四邊形PDBQ為菱形,則PD=BD=BQ,列方程即可求得答案;

3)設(shè)EAC的中點,連接ME.當t=4時,點Q與點B重合,運動停止.設(shè)此時PQ的中點為F,連接EF,由△PMN∽△PQC.利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例,即可求得答案.

試題解析:(1)根據(jù)題意得:CQ=2tPA=t,

∴QB=8-2t,

Rt△ABC中,∠C=90°AC=6,BC=8,PD∥BC,

∴∠APD=90°

tanA=,

PD=

2)不存在

Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8

∴AB=10

∵PD∥BC,

∴△APD∽△ACB,

,即,

AD= ,

BD=AB-AD=10- ,

∵BQ∥DP,

BQ=DP時,四邊形PDBQ是平行四邊形,

8-2t= ,解得:t=

t=時,PD=,BD=10-,

∴DP≠BD,

∴PDBQ不能為菱形.

設(shè)點Q的速度為每秒v個單位長度,

BQ=8-vtPD= ,BD=10- ,

要使四邊形PDBQ為菱形,則PD=BD=BQ

PD=BD時,即=10- ,解得:t=

PD=BQ,t=時,即,解得:v=

當點Q的速度為每秒個單位長度時,經(jīng)過秒,四邊形PDBQ是菱形.

3)如圖2,以C為原點,以AC所在的直線為x軸,建立平面直角坐標系.

依題意,可知0≤t≤4,當t=0時,點M1的坐標為(30),當t=4時點M2的坐標為(1,4).

設(shè)直線M1M2的解析式為y=kx+b,

解得

,

直線M1M2的解析式為y=-2x+6

Q0,2t),P6-t,0

在運動過程中,線段PQ中點M3的坐標(,t).

x=代入y=-2x+6y=-2×+6=t,

M3在直線M1M2上.

過點M2M2N⊥x軸于點N,則M2N=4,M1N=2

M1M2=2

線段PQ中點M所經(jīng)過的路徑長為2單位長度.

練習(xí)冊系列答案
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(1)a的值.

(2)鋪設(shè)地面需要木地板和地磚各多少平方米(用含的代數(shù)式表示)?

(3)按市場價格,木地板單價為300/平方米,地磚單價為100/平方米,裝修公司有兩種活動方案,如表:

活動方案

木地板價格

地磚價格

總安裝費

A

8

8.5

2000

B

9

8.5

免收

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2)當銷售單價定為多少元時,每月可獲得最大利潤?每月的最大利潤是多少?

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請根據(jù)上述信息解答下列問題:

1)本次調(diào)查數(shù)據(jù)的中位數(shù)落在______組內(nèi),眾數(shù)落在______組內(nèi);

2)若該轄區(qū)約4000名初中生,請你估計其中達到國家規(guī)定體育活動時間的人數(shù);

3)若組取組取,組取,組取,試計算這300名學(xué)生平均每天在校體育活動的時間.

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