【題目】如圖,已知二次函數(shù)y=ax2+x+c的圖象與y軸交于點A(0,4),與x軸交于點B、C,點C坐標為(8,0),連接AB、AC.
(1)請直接寫出二次函數(shù)y=ax2+x+c的表達式;
(2)判斷△ABC的形狀,并說明理由;
(3)若點N在x軸上運動,當以點A、N、C為頂點的三角形是等腰三角形時,請直接寫出此時點N的坐標;
(4)若點N在線段BC上運動(不與點B、C重合),過點N作NM∥AC,交AB于點M,當△AMN面積最大時,求此時點N的坐標.
【答案】
(1)
解:∵二次函數(shù)y=ax2+x+c的圖象與y軸交于點A(0,4),與x軸交于點B、C,點C坐標為(8,0),
∴,
解得.
∴拋物線表達式:y=x2+x+4;
(2)
解:△ABC是直角三角形.
令y=0,則x2+x+4,
解得x1=8,x2=﹣2,
∴點B的坐標為(﹣2,0),
由已知可得,
在Rt△ABO中AB2=BO2+AO2=22+42=20,
在Rt△AOC中AC2=AO2+CO2=42+82=80,
又∵BC=OB+OC=2+8=10,
∴在△ABC中AB2+AC2=20+80=102=BC2
∴△ABC是直角三角形.
(3)
解:∵A(0,4),C(8,0),
∴AC==,
①以A為圓心,以AC長為半徑作圓,交x軸于N,此時N的坐標為(﹣8,0),
②以C為圓心,以AC長為半徑作圓,交x軸于N,此時N的坐標為(8﹣,0)或(8+,0)
③作AC的垂直平分線,交x軸于N,此時N的坐標為(3,0),
綜上,若點N在x軸上運動,當以點A、N、C為頂點的三角形是等腰三角形時,點N的坐標分別為(﹣8,0)、(8﹣,0)、(3,0)、(8+,0).
(4)
解:設(shè)點N的坐標為(n,0),則BN=n+2,過M點作MD⊥x軸于點D,
∴MD∥OA,
∴△BMD∽△BAO,
∴=,
∵MN∥AC
∴=,
∴=,
∵OA=4,BC=10,BN=n+2
∴MD=(n+2),
∵S△AMN=S△ABN﹣S△BMN
=BNOA﹣BNMD
=(n+2)×4﹣×(n+2)2
=(n﹣3)2+5,
∴當△AMN面積最大時,N點坐標為(3,0).
【解析】(1)根據(jù)待定系數(shù)法即可求得;
(2)根據(jù)拋物線的解析式求得B的坐標,然后根據(jù)勾股定理分別求得AB2=20,AC2=80,BC10,然后根據(jù)勾股定理的逆定理即可證得△ABC是直角三角形.
(3)分別以A、C兩點為圓心,AC長為半徑畫弧,與x軸交于三個點,由AC的垂直平分線與x軸交于一個點,即可求得點N的坐標;
(4)設(shè)點N的坐標為(n,0),則BN=n+2,過M點作MD⊥x軸于點D,根據(jù)三角形相似對應(yīng)邊成比例求得MD=(n+2),然后根據(jù)S△AMN=S△ABN﹣S△BMN
得出關(guān)于n的二次函數(shù),根據(jù)函數(shù)解析式求得即可.
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【題目】某賓館準備購進一批換氣扇,從電器商場了解到:一臺A型換氣扇和三臺B型換氣扇共需275元;三臺A型換氣扇和二臺B型換氣扇共需300元.
(1)求一臺A型換氣扇和一臺B型換氣扇的售價各是多少元;
(2)若該賓館準備同時購進這兩種型號的換氣扇共40臺并且A型換氣扇的數(shù)量不多于B型換氣扇數(shù)量的3倍,請設(shè)計出最省錢的購買方案,并說明理由.
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【題目】在Rt△ABC中,∠BAC=90°,過點B的直線MN∥AC,D為BC邊上一點,連接AD,作DE⊥AD交MN于點E,連接AE.
(1)如圖①,當∠ABC=45°時,求證:AD=DE;
(2)如圖②,當∠ABC=30°時,線段AD與DE有何數(shù)量關(guān)系?并請說明理由;
(3)當∠ABC=α?xí)r,請直接寫出線段AD與DE的數(shù)量關(guān)系.(用含α的三角函數(shù)表示)
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【題目】一個不透明的口袋中裝有4個分別標有數(shù)字﹣1,﹣2,3,4的小球,它們的形狀、大小完全相同.小紅先從口袋中隨機摸出一個小球記下數(shù)字為x;小穎在剩下的3個小球中隨機摸出一個小球記下數(shù)字為y.
(1)小紅摸出標有數(shù)字3的小球的概率是___;
(2)請用列表法或畫樹狀圖的方法表示出由x,y確定的點P(x,y)所有可能的結(jié)果;
(3)若規(guī)定:點P(x,y)在第一象限或第三象限小紅獲勝;點P(x,y)在第二象限或第四象限則小穎獲勝.請分別求出兩人獲勝的概率.
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,點C,D在⊙O上,且AD平分∠CAB,過點D作AC的垂線,與AC的延長線相交于點E,與AB的延長線相交于點F.
(1)求證:EF與⊙O相切;
(2)若AB=6,AD=,求EF的長.
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【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,側(cè)面PAD⊥底面ABCD,底面ABCD是平行四邊形,∠ABC=45°,AD=AP=2,AB=DP=2 ,E為CD的中點,點F在線段PB上.
(Ⅰ)求證:AD⊥PC;
(Ⅱ)當三棱錐B﹣EFC的體積等于四棱錐P﹣ABCD體積的 時,求 的值.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=|x﹣a|+| x+1|的最小值為2. (Ⅰ)求實數(shù)a的值;
(Ⅱ)若a>0,求不等式f(x)≤4的解集.
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【題目】如圖,在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AB=10,sinB= ,點O是AB的中點,∠DOE=∠A,當∠DOE以點O為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)時,OD交AC的延長線于點D,交邊CB于點M,OE交線段BM于點N.
(1)當CM=2時,求線段CD的長;
(2)設(shè)CM=x,BN=y,試求y與x之間的函數(shù)解析式,并寫出定義域;
(3)如果△OMN是以O(shè)M為腰的等腰三角形,請直接寫出線段CM的長.
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