Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于點和，與軸交于點頂點為．

求拋物線的解析式；

求的度數(shù)；

若點是線段上一個動點，過作軸交拋物線于點，交軸于點，設(shè)點的橫坐標(biāo)為．

①求線段的最大值；

②若是等腰三角形，直接寫出的值．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2－4x＋3，（2）90°，（3）①，②m＝2或m＝或m＝1．

【解析】

（1）將點B,C代入拋物線的解析式中，利用待定系數(shù)法即可得出答案；

（2）先求出點D的坐標(biāo)，然后利用OB＝OC，得出∠CBO＝45°，過D作DE⊥x 軸，垂足為E，再利用DE＝BE，得出∠DBO＝45°，則的度數(shù)可求；

（3）①先用待定系數(shù)法求出直線BC的表達(dá)式，然后設(shè)出M,N的坐標(biāo)，表示出線段MN的長度，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出最大值；

②分三種情況： BN＝BM， BN＝MN， NM＝BM分別建立方程求解即可．

解：（1）將點B（3，0）、C（0，3）代入拋物線y＝x2＋bx＋c中，

得：，解得：．

故拋物線的解析式為y＝x2－4x＋3．

（2）y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，

∴D點坐標(biāo)為（2，－1）．

∵OB＝OC＝3，

∴∠CBO＝45°，

過D作DE⊥x 軸，垂足為E，則DE＝BE＝1，

∴∠DBO＝45°，

∴∠CBD＝90°．

（3）①設(shè)直線BC的解析式為y＝kx＋3，得：0＝3k＋3，解得：k＝－1，

∴直線BC的解析式為y＝－x＋3．

點M的坐標(biāo)為（m，m2－4m＋3），點N的坐標(biāo)為（m，－m＋3）．

線段MN＝（－m＋3）－（m2－4m＋3）＝－m2＋3m＝－(m－)2＋．

∴當(dāng)m＝時，線段MN取最大值，最大值為．

②在Rt△NBH中，BH＝3－m，BN＝(3－m)．

當(dāng)BN＝BM時，NH＝MH，則－m＋3＝－(m2－4m＋3)，

即m2－5m＋6＝0，解得m1＝2，m2＝3（舍去），

當(dāng)BN＝MN時，－m2＋3m＝(3－m)，解得：m1＝，m2＝3（舍去），

當(dāng)NM＝BM時，∠MNB＝∠NBM＝45°，則MB與x軸重合，點M與點A重合，

∴m＝1，

綜合得：m＝2或m＝或m＝1．