Question

【題目】一邊長為4正方形放在平面直角坐標系中，其中為原點，點、分別在軸、軸上，為射線上任意一點

（1）如圖1，若點坐標為，連接交于點，則的面積為__________；

（2）如圖2，將沿翻折得，若點在直線圖象上，求出點坐標；

（3）如圖3，將沿翻折得，和射線交于點，連接，若，平面內是否存在點，使得是以為直角邊的等腰直角三角形，若存在，請求出所有點坐標：若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）E（，）；（3）Q（，），Q'（，），Q'（0，），Q''（8，）

【解析】

（1）由待定系數法可求直線OC，直線AD的解析式，再求出交點E的坐標，由三角形面積公式可求解；

（2）如圖2，過點E作EH⊥OA，由折疊的性質可得AO＝AE＝4，設點E（a，a），求出AH，再由勾股定理列方程求出a的值即可；

（3）由折疊的性質可得∠DAO＝∠DAE＝75°，OA＝AE，∠DOA＝∠DEA＝90°，由“HL”可證Rt△AEF≌Rt△ACF，可得∠CAF＝∠EAF＝30°，然后求出CF＝，再分兩種情況討論，由全等三角形的性質和等腰直角三角形的性質求解即可．

解：（1）∵邊長為4的正方形OACB放在平面直角坐標系中，

∴點A（4，0），點C（4，4），點D（0，2），

∴直線OC解析式為：y＝x，

設直線AD解析式為：y＝kx＋b，

則，解得：，

∴直線AD解析式為：y＝x＋2，

聯(lián)立，解得：，

∴點E坐標（，），

∴△AOE的面積＝×4×＝，

故答案為：；

（2）如圖2，過點E作EH⊥OA，

∵將△AOD沿AD翻折得△AED，

∴AO＝AE＝4，

設點E（a，a），

∴OH＝a，EH＝a，

∴AH＝4a，

∵AE2＝EH2＋AH2，

∴16＝a2＋（4a）2，

∴a＝0（舍去）或a＝，

∴點E（，）；

（3）∵將△AOD沿AD翻折得△AED，

∴∠DAO＝∠DAE＝75°，OA＝AE，∠DOA＝∠DEA＝90°，

∴∠OAE＝150°，AE＝AC，∠ACF＝∠AED＝90°，

∴∠CAE＝60°，

∵AE＝AC，AF＝AF，

∴Rt△AEF≌Rt△ACF（HL），

∴∠CAF＝∠EAF＝30°，

∴AF＝2CF，

∴AF2＝AC2+CF2，即4CF2＝16+CF2，

∴CF＝（負值舍去），

∵△AFQ是以AF為直角邊的等腰直角三角形，

∴當∠AFQ＝90°，AF＝FQ時，如圖3，過點Q作QN⊥BF于點N，

∴∠NQF＋∠QFN＝90°，且∠QFN＋∠AFC＝90°，

∴∠NQF＝∠AFC，且∠ACF＝∠QNF＝90°，QF＝AF，

∴△QNF≌△FCA（AAS），

∴QN＝CF＝，AC＝NF＝4，

∴Q（，），

同理可求：Q'（，）；

當∠FAQ＝90°，AF＝AQ時，

同理可求，Q'（0，），Q''（8，）.