【題目】一副三角板如圖1擺放,∠C=∠DFE=90,∠B=30,∠E=45,點F在BC上,點A在DF上,且AF平分∠CAB,現(xiàn)將三角板DFE繞點F順時針旋轉(zhuǎn)(當(dāng)點D落在射線FB上時停止旋轉(zhuǎn)).
(1)當(dāng)∠AFD=_ __時,DF∥AC;當(dāng)∠AFD=__ _時,DF⊥AB;
(2)在旋轉(zhuǎn)過程中,DF與AB的交點記為P,如圖2,若AFP有兩個內(nèi)角相等,求∠APD的度數(shù);
(3)當(dāng)邊DE與邊AB、BC分別交于點M、N時,如圖3,若∠AFM=2∠BMN,比較∠FMN與∠FNM的大小,并說明理由。
【答案】(1)30;60(2) 60或105或150(3)∠FMN=∠FNM
【解析】分析:(1)當(dāng)∠AFD=30°時,AC∥DF,依據(jù)角平分線的定義可先求得∠CAF=∠FAB=30°,由內(nèi)錯角相等,兩直線平行,可證明AC∥DF,;當(dāng)∠AFD=60°時,DF⊥AB,由三角形的內(nèi)角和定理證明即可;
(2)分為∠FAP=∠AFP,∠AFP=∠APF,∠APF=∠FAP三種情況求解即可;
(3)先依據(jù)三角形外角的性質(zhì)證明∠FNM=30°+∠BMN,接下來再依據(jù)三角形外角的性質(zhì)以及∠AFM和∠BMN的關(guān)系可證明∠FMN=30°+∠BMN,從而可得到∠FNM與∠FMN的關(guān)系.
詳解:(1)如圖1所示:
當(dāng)∠AFD=30時,AC∥DF.
理由:∵∠CAB=60°,AF平分∠CAB,∴∠CAF=30°.
∵∠AFD=30°,∴∠CAF=∠AFD,∴AC∥DF.
如圖2所示:當(dāng)∠AFD=60°時,DF⊥AB.
∵∠CAB=60°,AF平分∠CAB,∴∠AFG=30°.
∵∠AFD=60°,∴∠FGB=90°,∴DF⊥AB.
故答案為:30;60.
(2)∵∠CAB=60°,AF平分∠CAB,∴∠FAP=30°.
當(dāng)如圖3所示:
當(dāng)∠FAP=∠AFP=30°時,∠APD=∠FAP+∠AFP=30°+30°=60°;
如圖4所示:
當(dāng)∠AFP=∠APF時.
∵∠FAP=30°,∠AFP=∠APF,∴∠AFP=∠APF=×(180°﹣30°)=×150°=75°,∴∠APD=∠FAP+∠AFP=30°+75°=105°;
如圖5所示:
如圖5所示:當(dāng)∠APF=∠FAP=30°時.
∠APD=180°﹣30°=150°.
綜上所述:∠APD的度數(shù)為60°或105°或150°.
(3)∠FMN=∠FNM.
理由:如圖6所示:
∵∠FNM是△BMN的一個外角,∴∠FNM=∠B+∠BMN.
∵∠B=30°,∴∠FNM=∠B+∠BMN=30°+∠BMN.
∵∠BMF是△AFM的一個外角,∴∠MBF=∠MAF+∠AFM,即∠BMN+∠FMN=∠MAF+∠AFM.
又∵∠MAF=30°,∠AFM=2∠BMN,∴∠BMN+∠FMN=30°+2∠BMN,∴∠FMN=30°+∠BMN,∴∠FNM=∠FMN.
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【題目】以下調(diào)查中,適宜抽樣調(diào)查的是( )
A.了解某班學(xué)生的身高情況
B.調(diào)查某批次汽車的抗撞擊能力
C.了解全班同學(xué)每周體育鍛煉的時間
D.對某校初三年級(2)班學(xué)生體能測試達標(biāo)情況的調(diào)查
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【題目】下列調(diào)查:
①了解某批種子的發(fā)芽率 ②了解某班學(xué)生對“社會主義核心價值觀”的知曉率
③了解某地區(qū)地下水水質(zhì) ④了解七年級(1)班學(xué)生參加“開放性科學(xué)實踐活動”完成次數(shù)
適合采取全面調(diào)查的是( )
A.①③B.②④C.①②D.③④
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【題目】在正方形網(wǎng)格中,每個小正方形的邊長均為1個單位長度,△ABC的三個頂點的位置如圖所示.現(xiàn)將△ABC平移,使點A變換為點D,點E、F分別是B、C的對應(yīng)點.
(1)請畫出平移后的△DEF;
(2)若連接AD、CF,則這兩條線段之間的關(guān)系是________________;
(3)在圖中找出所有滿足S△ABC=S△QBC的格點Q (異于點A),并用Q1、Q2…表示.
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【題目】小明在學(xué)了三角形的角平分線后,遇到下列4個問題,請你幫他解決.如圖,在△ABC中,∠BAC= 50°,點I是∠ABC、∠ACB平分線的交點.
問題(1):填空:∠BIC=_________°.
問題(2):若點D是兩條外角平分線的交點,則∠BDC=_________°.
問題(3):若點E是內(nèi)角∠ABC、外角∠ACG的平分線的交點,則∠BEC與∠BAC的數(shù)量關(guān)系是________;
問題(4):在問題(3)的條件下,當(dāng)∠ACB等于__________°時,CE∥AB.
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【題目】已知關(guān)于x,y的方程組的解滿足x<0,y>0.
(1)x=________, y=________(用含a的代數(shù)式表示);
(2)求a的取值范圍;
(3)若2x8y=2m,用含有a的代數(shù)式表示m,并求m的取值范圍.
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【題目】先閱讀下面的內(nèi)容,再解決問題.
例題:若, 求m和n的值
解:∵
∴
∴
∴,
∴,
問題:(1)若,求的值.
(2)已知a,b,c是△ABC的三邊長,滿足,且c是△ABC中最長的邊,求c的取值范圍.
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