Question

1．在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°，將△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角α（0°＜α＜90°）得△A₁BC₁，A₁B交AC于點(diǎn)E，A₁C₁分別交AC、BC于D、F兩點(diǎn)．
（1）如圖1，觀察并猜想，在旋轉(zhuǎn)過程中，線段BE與BF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論；
（2）如圖2，當(dāng)α=30°時(shí)，試判斷四邊形BC₁DA的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由AB=BC得到∠A=∠C，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AB=BC=BC₁，∠A=∠C=∠C₁，∠ABE=∠C₁BF，則可證明△ABE≌△C₁BF，于是得到BE=BF
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠A=∠C=30°，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠A₁=∠C₁=30°，∠ABA₁=∠CBC₁=30°，則利用平行線的判定方法得到A₁C₁∥AB，AC∥BC₁，于是可判斷四邊形BC₁DA是平行四邊形，然后加上AB=BC₁可判斷四邊形BC₁DA是菱形．

解答 解：（1）BE=DF．理由如下：
∵AB=BC，
∴∠A=∠C，
∵△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角α（0°＜α＜90°）得△A₁BC₁，
∴AB=BC=BC₁，∠A=∠C=∠C₁，∠ABE=∠C₁BF，
在△ABE和△C₁BF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠{C}_{1}BF}\\{BA=B{C}_{1}}\\{∠A=∠{C}_{1}}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△C₁BF，
∴BE=BF
（2）四邊形BC₁DA是菱形．理由如下：
∵AB=BC=2，∠ABC=120°，
∴∠A=∠C=30°，
∴∠A₁=∠C₁=30°，
∵∠ABA₁=∠CBC₁=30°，
∴∠ABA₁=∠A₁，∠CBC₁=∠C，
∴A₁C₁∥AB，AC∥BC₁，
∴四邊形BC₁DA是平行四邊形．
又∵AB=BC₁，
∴四邊形BC₁DA是菱形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了菱形的判定方法．