Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形ABCD的頂點(diǎn)分別為A（0，4）、B（﹣4，0）、C（0，﹣4）、D（4，0），對(duì)于圖形M，給出如下定義：點(diǎn)P為圖形M上任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q為正方形ABCD邊上任意一點(diǎn)，如果P、Q兩點(diǎn)間的距離有最大值，那么稱(chēng)這個(gè)最大值為圖形M的“正方距”，記作d（M）．

（1）已知點(diǎn)E（0，2），G（﹣1，﹣1）．

①如圖1，直接寫(xiě)出d（點(diǎn)E），d（點(diǎn)G）的值；

②如圖2，扇形EOF圓心角∠EOF=45°，將扇形EOF繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角（0＜α＜180°）得到扇形E'OF'，當(dāng)d（扇形E'OF'）取最大值時(shí)，求α角的取值范圍；

（2）點(diǎn)P為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足d（點(diǎn)P）=6，直接寫(xiě)出OP長(zhǎng)度的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①d(點(diǎn)E)=6，d(點(diǎn)G)；②45°＜α＜90°或135°＜α＜180°；（2）2≤OP≤．

【解析】

(1)①根據(jù)“正方距”的定義，d(點(diǎn)E)=EC，d(點(diǎn)G)=GA．
②觀察圖象可知當(dāng)扇形OE′F′與x軸的正半軸或y軸的負(fù)半軸有交點(diǎn)時(shí)，d(扇形E′OF′)取最大值，由此寫(xiě)出α的范圍即可．
(2)如圖3中，分別以A，B，C，D為圓心，6為半徑畫(huà)弧，得到圖中的4條弧(紅線)，當(dāng)點(diǎn)P在圖中紅線上時(shí)，d(點(diǎn)P)=6，求出OP的最大值以及最小值即可解決問(wèn)題．

(1)①如圖1中，連接AG．

由題意：d(點(diǎn)E)=EC=6，d(點(diǎn)G)=GA．

②觀察圖象可知當(dāng)扇形OE'F'與x軸的正半軸或y軸的負(fù)半軸有交點(diǎn)時(shí)，d(扇形E'OF')取最大值，

所以45°＜α＜90°或135°＜α＜180°時(shí)，滿足條件．

(2)如圖3中，分別以A，B，C，D為圓心，6為半徑畫(huà)弧，得到圖中的4條弧(紅線)，當(dāng)點(diǎn)P在圖中紅線上時(shí)，d(點(diǎn)P)=6，

設(shè)圖中P(m，m)．

∵PB=6，

∴m2+(4+m)2=36，

解得：m=﹣2或﹣2(舍棄)，

∴P(﹣2，﹣2)，

∴OP的最大值=OPm=﹣22，

∵OP的最小值=OP'=2，

∴2≤OP≤﹣22．