Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx過A(4，0) B(1，3)兩點(diǎn)，點(diǎn)C 、B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，過點(diǎn)B作直線BH⊥x軸，交x軸于點(diǎn)H

（1）求拋物線的解析式．

（2）直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)，并求出△ABC的面積．

（3）點(diǎn)P是拋物線BA段上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△ABP的面積為3時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+4x；（2）點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，3），3；（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，4）或（3，3）

【解析】

（1）將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入即可求出解析式；

（2）求出拋物線的對(duì)稱軸，根據(jù)對(duì)稱性得到點(diǎn)C的坐標(biāo)，再利用面積公式即可得到三角形的面積；

（3）先求出直線AB的解析式，過P點(diǎn)作PE∥y軸交AB于點(diǎn)E，設(shè)其坐標(biāo)為P（a，-a2+4a），得到點(diǎn)E的坐標(biāo)為(a，-a+4)，求出線段PE，即可根據(jù)面積相加關(guān)系求出a，即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo).

（1）把點(diǎn)A（4，0），B(1，3)代入拋物線y=ax2+bx中，得

，得，

∴拋物線的解析式為y=-x2+4x；

(2)∵，

∴對(duì)稱軸是直線x=2，

∵B(1，3)，點(diǎn)C 、B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，3），BC＝2，

點(diǎn)A的坐標(biāo)是（4，0），BH⊥x軸，

∴S△ABC= =；

（3）設(shè)直線AB的解析式為y=mx+n，將B，A兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入

得，解得，

∴y=-x+4，

過P點(diǎn)作PE∥y軸交AB于點(diǎn)E，P點(diǎn)在拋物線y=-x2+4x的AB段，

設(shè)其坐標(biāo)為（a，-a2+4a），其中1<a<4，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為(a，-a+4)，

∴PE=(-a2+4a)-( -a+4)=-a2+5a-4，

∴S△ABP= S△PEB+ S△PEA=×PE×3=(-a2+5a-4)=，

得a1=2，a2=3，

P1(2，4)，P2(3，3)即點(diǎn)C，

綜上所述，當(dāng)△ABP的面積為3時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，4）或（3，3）.