【題目】如圖,等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,∠ABC的平分線分別交AC、AD于E、F兩點,M為EF的中點,延長AM交BC于點N,連接DM.下列結論:①DF=DN;③AE=CN;③△DMN是等腰三角形;④∠BMD=45°,其中正確的結論個數(shù)是(

A.1個
B.2個
C.3個
D.4個

【答案】D
【解析】解:∵∠BAC=90°,AC=AB,AD⊥BC,
∴∠ABC=∠C=45°,AD=BD=CD,∠ADN=∠ADB=90°,
∴∠BAD=45°=∠CAD,
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠CBE= ∠ABC=22.5°,
∴∠BFD=∠AEB=90°﹣22.5°=67.5°,
∴∠AFE=∠BFD=∠AEB=67.5°,
∴AF=AE,
∵M為EF的中點,
∴AM⊥BE,
∴∠AMF=∠AME=90°,
∴∠DAN=90°﹣67.5°=22.5°=∠MBN,
在△FBD和△NAD中

∴△FBD≌△NAD,
∴DF=DN,∴①正確;
在△AFB和△△CNA中

∴△AFB≌△CAN,
∴AF=CN,
∵AF=AE,
∴AE=CN,∴②正確;
∵∠ADB=∠AMB=90°,
∴A、B、D、M四點共圓,
∴∠ABM=∠ADM=22.5°,
∴∠DMN=∠DAN+∠ADM=22.5°+22.5°=45°,∴④正確;
∵∠DNA=∠C+∠CAN=45°+22.5°=67.5°,
∴∠MDN=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°=∠DNM,
∴DM=MN,∴△DMN是等腰三角形,∴③正確;
即正確的有4個,
故選D.

求出BD=AD,∠DBF=∠DAN,∠BDF=∠ADN,證△DFB≌△DAN,即可判斷①,證△ABF≌△CAN,推出CN=AF=AE,即可判斷②;根據(jù)A、B、D、M四點共圓求出∠ADM=22.5°,即可判斷④,根據(jù)三角形外角性質求出∠DNM,求出∠MDN=∠DNM,即可判斷③.

練習冊系列答案
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A.1 B.2 C.3 D.4

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