Question

【題目】如圖，已知矩形 的邊長 ．某一時刻，動點(diǎn) 從 點(diǎn)出發(fā)沿 方向以 的速度向 點(diǎn)勻速運(yùn)動；同時，動點(diǎn) 從 點(diǎn)出發(fā)沿 方向以 的速度向 點(diǎn)勻速運(yùn)動，問：

（1）經(jīng)過多少時間， 的面積等于矩形 面積的 ？
（2）是否存在時刻t，使以A,M,N為頂點(diǎn)的三角形與 相似？若存在，求t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)經(jīng)過 秒后， 的面積等于矩形 面積的 ，

則有： ，即 ，

解方程，得 ．

經(jīng)檢驗(yàn)，可知 符合題意，所以經(jīng)過1秒或2秒后， 的面積等于矩形 面積的

（2）解：假設(shè)經(jīng)過 秒時，以 為頂點(diǎn)的三角形與 相似，

由矩形 ，可得 ，

因此有 或

即 ①，或 ②．

解①，得 ；解②，得

經(jīng)檢驗(yàn)， 或 都符合題意，所以動點(diǎn) 同時出發(fā)后，經(jīng)過 秒或 秒時，以 為頂點(diǎn)的三角形與 相似

【解析】（1）根據(jù)△AMN的面積等于矩形ABCD面積的，得到一元二次方程，求出它的解，求出時間；（2）根據(jù)相似三角形的判定方法，兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似；求出t的值；此題是綜合題，難度較大，計(jì)算和解方程時需認(rèn)真仔細(xì).