Question

某公司投資700萬(wàn)元購(gòu)甲、乙兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)技術(shù)和設(shè)備后，進(jìn)行這兩種產(chǎn)品加工．已知生產(chǎn)甲種產(chǎn)品每件還需成本費(fèi)30元，生產(chǎn)乙種產(chǎn)品每件還需成本費(fèi)20元．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)：甲種產(chǎn)品的銷售單價(jià)為x（元），年銷售量為y（萬(wàn)件），當(dāng)35≤x＜50時(shí)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=20﹣0.2x；當(dāng)50≤x≤70時(shí)，y與x的函數(shù)關(guān)系式如圖所示，乙種產(chǎn)品的銷售單價(jià)，在25元（含）到45元（含）之間，且年銷售量穩(wěn)定在10萬(wàn)件．物價(jià)部門規(guī)定這兩種產(chǎn)品的銷售單價(jià)之和為90元．

（1）當(dāng)50≤x≤70時(shí)，求出甲種產(chǎn)品的年銷售量y（萬(wàn)元）與x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式．
（2）若公司第一年的年銷售量利潤(rùn)（年銷售利潤(rùn)=年銷售收入﹣生產(chǎn)成本）為W（萬(wàn)元），那么怎樣定價(jià)，可使第一年的年銷售利潤(rùn)最大？最大年銷售利潤(rùn)是多少？
（3）第二年公司可重新對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行定價(jià)，在（2）的條件下，并要求甲種產(chǎn)品的銷售單價(jià)x（元）在50≤x≤70范圍內(nèi)，該公司希望到第二年年底，兩年的總盈利（總盈利=兩年的年銷售利潤(rùn)之和﹣投資成本）不低于85萬(wàn)元．請(qǐng)直接寫出第二年乙種產(chǎn)品的銷售單價(jià)m（元）的范圍．

Answer 1

（1）（50≤x≤70）。
（2）甲、乙兩種產(chǎn)品定價(jià)均為45元時(shí)，第一年的年銷售利潤(rùn)最大，最大年銷售利潤(rùn)是415萬(wàn)元。
（3）30≤m≤40。

分析：（1）設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b（k≠0），然后把點(diǎn)（50，10），（70，8）代入求出k、b的值即可得解。
（2）先根據(jù)兩種產(chǎn)品的銷售單價(jià)之和為90元，根據(jù)乙種產(chǎn)品的定價(jià)范圍列出不等式組求出x的取值范圍是45≤x≤65，然后分45≤＜50，50≤x≤70兩種情況，根據(jù)銷售利潤(rùn)等于兩種產(chǎn)品的利潤(rùn)之和列出W與x的函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的增減性確定出最大值，從而得解。
（3）用第一年的最大利潤(rùn)加上第二年的利潤(rùn)，然后根據(jù)總盈利不低于85萬(wàn)元列出不等式，整理后求解即可：
根據(jù)題意得，，
由W=85，則，解得x₁=20，x₂=60．
又由題意知，50≤x≤70，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)分析，50≤x≤60，即50≤90－m≤60，∴30≤m≤40。　
解：（1）設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b（k≠0），
∵函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（50，10），（70，8），
∴，解得。
∴甲種產(chǎn)品的年銷售量y（萬(wàn)元）與x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式為（50≤x≤70）。
（2）∵乙種產(chǎn)品的銷售單價(jià)在25元（含）到45元（含）之間，
∴，之得45≤x≤65。
①當(dāng)45≤x＜50時(shí)，
，
∵﹣0.2＜0，∴x＞40時(shí)，W隨x的增大而減小。
∴當(dāng)x=45時(shí)，W有最大值，（萬(wàn)元）。
②50≤x≤70時(shí)，
，
∵﹣0.1＜0，∴x＞40時(shí)，W隨x的增大而減小。
當(dāng)x=50時(shí)，W有最大值，（萬(wàn)元）。
綜上所述，當(dāng)x=45，即甲、乙兩種產(chǎn)品定價(jià)均為45元時(shí)，第一年的年銷售利潤(rùn)最大，最大年銷售利潤(rùn)是415萬(wàn)元。
（3）30≤m≤40。