Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，E是對(duì)角線BD上一點(diǎn)，且滿足BE＝AD，連接CE并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)F，連接AE，過(guò)B點(diǎn)作BG⊥AE于點(diǎn)G，延長(zhǎng)BG交AD于點(diǎn)H．在下列結(jié)論中：①AH＝DF；②∠AEF＝45°；③S四邊形EFHG＝S△DEF+S△AGH；④BH平分∠ABE．其中不正確的結(jié)論有（　　）

A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)

Answer 1

【答案】A

【解析】

先判斷出∠DAE=∠ABH，再判斷△ADE≌△CDE得出∠DAE=∠DCE=22.5°，∠ABH=∠DCF，再判斷出Rt△ABH≌Rt△DCF從而得到①正確，根據(jù)三角形的外角求出∠AEF=45°，得出②正確；連接HE，判斷出S△EFH≠S△EFD得出③錯(cuò)誤，根據(jù)三角形的內(nèi)角和和角平分線的定義得到④正確.

解：∵BD是正方形ABCD的對(duì)角線，

∴∠ABE＝∠ADE＝∠CDE＝45°，AB＝BC，

∵BE＝BC，

∴AB＝BE，

∵BG⊥AE，

∴BH是線段AE的垂直平分線，∠ABH＝∠DBH＝22.5°，

在Rt△ABH中，∠AHB＝90°﹣∠ABH＝67.5°，

∵∠AGH＝90°，

∴∠DAE＝∠ABH＝22.5°，

在△ADE和△CDE中，，

∴△ADE≌△CDE（SAS），

∴∠DAE＝∠DCE＝22.5°，

∴∠ABH＝∠DCF，

在△ABH和△DCF中，，

∴△ABH≌△DCF（ASA），

∴AH＝DF，∠CFD＝∠AHB＝67.5°，

∵∠CFD＝∠EAF+∠AEF，

∴67.5°＝22.5°+∠AEF，

∴∠AEF＝45°，故①②正確；

如圖，連接HE，

∵BH是AE垂直平分線，

∴AG＝EG，

∴S△AGH＝S△HEG，

∵AH＝HE，

∴∠AHG＝∠EHG＝67.5°，

∴∠DHE＝45°，

∵∠ADE＝45°，

∴∠DEH＝90°，∠DHE＝∠HDE＝45°，

∴EH＝ED，

∴△DEH是等腰直角三角形，

∵EF不垂直DH，

∴FH≠FD，

∴S△EFH≠S△EFD，

∴S四邊形EFHG＝S△HEG+S△EFH＝S△AHG+S△EFH≠S△DEF+S△AGH，故③錯(cuò)誤，

∵∠AHG＝67.5°，

∴∠ABH＝22.5°，

∵∠ABD＝45°，

∴∠ABH

∴BH平分∠ABE，故④正確；

故選：A．