Question

【題目】如圖，已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（1，4），與坐標(biāo)軸交于B、C、D三點(diǎn)，且B點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，0）．

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）在二次函數(shù)圖象位于x軸上方部分有兩個(gè)動點(diǎn)M、N，且點(diǎn)N在點(diǎn)M的左側(cè)，過M、N作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)G、H兩點(diǎn)，當(dāng)四邊形MNHG為矩形時(shí)，求該矩形周長的最大值；

（3）當(dāng)矩形MNHG的周長最大時(shí)，能否在二次函數(shù)圖象上找到一點(diǎn)P，使△PNC的面積是矩形MNHG面積的？若存在，求出該點(diǎn)的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3 （2）10 （3）存在；（，）或（，）或（，）

【解析】

（1）將拋物線的解析式設(shè)為頂點(diǎn)式，然后將點(diǎn)B代入即可求出拋物線的解析式；

（2）由四邊形MNHG為矩形知MN∥x軸，MG∥y軸，故可設(shè)出點(diǎn)M坐標(biāo)，則矩形MNHG的周長C＝2MN+2GM＝2（2x﹣2）+2（﹣x2+2x+3）＝﹣2x2+8x+2，利用二次函數(shù)性質(zhì)即可求解；

（3）由（2）中知，D與N重合，由已知先求出S△PNC值，連接DC，在CD得上下方等距離處作CD的平行線m、n，過點(diǎn)P作y軸的平行線交CD、直線n于點(diǎn)H、G，即PH＝GH，過點(diǎn)P作PK⊥CD于點(diǎn)K，設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo)，通過推導(dǎo)計(jì)算，即可求解出點(diǎn)P的坐標(biāo).

（1）二次函數(shù)表達(dá)式為：y＝a（x﹣1）2+4，

將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入上式得：0＝4a+4，解得：a＝﹣1，

故函數(shù)表達(dá)式為：y＝﹣x2+2x+3…①；

（2）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，﹣x2+2x+3），則點(diǎn)N（2﹣x，﹣x2+2x+3），

則MN＝x﹣2+x＝2x﹣2，GM＝﹣x2+2x+3，

矩形MNHG的周長C＝2MN+2GM＝2（2x﹣2）+2（﹣x2+2x+3）＝﹣2x2+8x+2，

∵﹣2＜0，故當(dāng)x＝＝2，C有最大值，最大值為10，

此時(shí)x＝2，點(diǎn)N（0，3）與點(diǎn)D重合；

（3）△PNC的面積是矩形MNHG面積的，

則S△PNC＝×MN×GM＝×2×3＝，

連接DC，在CD得上下方等距離處作CD的平行線m、n，過點(diǎn)P作y軸的平行線交CD、直線n于點(diǎn)H、G，即PH＝GH，過點(diǎn)P作PK⊥CD于點(diǎn)K，

將C（3，0）、D（0，3）坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式并解得：

直線CD的表達(dá)式為：y＝﹣x+3，

OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC＝45°＝∠PHK，CD＝3，

設(shè)點(diǎn)P（x，﹣x2+2x+3），則點(diǎn)H（x，﹣x+3），

S△PNC＝＝×PK×CD＝×PH×sin45°×3，

解得：PH＝＝HG，

則PH＝﹣x2+2x+3+x﹣3＝，

解得：x＝，

故點(diǎn)P（，），

直線n的表達(dá)式為：y＝﹣x+3﹣＝﹣x+…②，

聯(lián)立①②并解得：x＝，

即點(diǎn)P′、P″的坐標(biāo)分別為(，）、（，）；

故點(diǎn)P坐標(biāo)為：（，）或（，）或（，）.