Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，過點A作AE⊥BC，垂足為E，連接DE，F為線段DE上一點，且∠AFE＝∠B.

(1)求證：∠DFA＝∠ECD；

(2)△ADF與△DEC相似嗎？為什么？

(3)若AB＝4，AD＝3，AE＝3，求AF的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）△ADF∽△DEC，理由詳見解析；（3）AF＝2.

【解析】

（1）因為∠AFE＝∠B，平行四邊形的鄰角互補可得：∠B+∠ECD=180°；，等角的補角相等，所以∠AFE的領(lǐng)補角∠DFA=∠ECD；

（2）根據(jù)兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似證明；

(3) 由平行四邊形ABCD中，過點A作AE⊥BC，AB=4，AD=3，AE=3，由勾股定理可求得DE的長，又由∠AFE=∠B，易證得△ADF∽△DEC，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得答案．

(1)證明：∵∠AFE∠DFA＝180°，又∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴∠B+∠ECD＝180°，又∵∠B＝∠AFE，∴∠DFA＝∠ECD.　

(2)解：△ADF∽△DEC.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠ADF＝∠CED，∠B＋∠C＝180°，∵∠AFE＋∠AFD＝180°，∠AFE＝∠B，∴∠AFD＝∠C，∴△ADF∽△DEC.　

(3)解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，CD＝AB＝4，又∵AE⊥BC，∴AE⊥AD，在Rt△ADE中，DE＝ ＝=6 ，∵△ADF∽△DEC，∴＝ ，∴＝，AF＝2 .