【題目】如圖,拋物線經(jīng)過A(﹣1,0),B(5,0),C(0, )三點.

(1)求拋物線的解析式;
(2)在拋物線的對稱軸上有一點P,使PA+PC的值最小,求點P的坐標;
(3)點M為x軸上一動點,在拋物線上是否存在一點N,使以A,C,M,N四點構(gòu)成的四邊形為平行四邊形?若存在,求點N的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】
(1)

解:設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c(a≠0),

∵A(﹣1,0),B(5,0),C(0, )三點在拋物線上,

,

解得

∴拋物線的解析式為:y= x2﹣2x﹣


(2)

解:∵拋物線的解析式為:y= x2﹣2x﹣

∴其對稱軸為直線x=﹣ =﹣ =2,

連接BC,如圖1所示,

∵B(5,0),C(0,﹣ ),

∴設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b(k≠0),

,

解得

∴直線BC的解析式為y= x﹣ ,

當(dāng)x=2時,y=1﹣ =﹣ ,

∴P(2,﹣


(3)

解:存在.

如圖2所示,

①當(dāng)點N在x軸下方時,

∵拋物線的對稱軸為直線x=2,C(0,﹣ ),

∴N1(4,﹣ );

②當(dāng)點N在x軸上方時,

如圖,過點N2作N2D⊥x軸于點D,

在△AN2D與△M2CO中,

∴△AN2D≌△M2CO(ASA),

∴N2D=OC= ,即N2點的縱坐標為

x2﹣2x﹣ = ,

解得x=2+ 或x=2﹣

∴N2(2+ , ),N3(2﹣ , ).

綜上所述,符合條件的點N的坐標為(4,﹣ ),(2+ , )或(2﹣ ).


【解析】(1)設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c(a≠0),再把A(﹣1,0),B(5,0),C(0,- )三點代入求出a、b、c的值即可;(2)因為點A關(guān)于對稱軸對稱的點B的坐標為(5,0),連接BC交對稱軸直線于點P,求出P點坐標即可;(3)分點N在x軸下方或上方兩種情況進行討論.

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A.2017π
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C.3024π
D.3026π

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