【題目】如圖,點C為△ABD的外接圓上的一動點(點C不在 上,且不與點B,D重合),∠ACB=∠ABD=45°
(1)求證:BD是該外接圓的直徑;
(2)連結(jié)CD,求證: AC=BC+CD;
(3)若△ABC關(guān)于直線AB的對稱圖形為△ABM,連接DM,試探究DM2 , AM2 , BM2三者之間滿足的等量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
【答案】
(1)證明:∵ = ,
∴∠ACB=∠ADB=45°,
∵∠ABD=45°,
∴∠BAD=90°,
∴BD是△ABD外接圓的直徑
(2)解:在CD的延長線上截取DE=BC,
連接EA,
∵∠ABD=∠ADB,
∴AB=AD,
∵∠ADE+∠ADC=180°,
∠ABC+∠ADC=180°,
∴∠ABC=∠ADE,
在△ABC與△ADE中,
,
∴△ABC≌△ADE(SAS),
∴∠BAC=∠DAE,
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,
∴∠BAD=∠CAE=90°,
∵ =
∴∠ACD=∠ABD=45°,
∴△CAE是等腰直角三角形,
∴ AC=CE,
∴ AC=CD+DE=CD+BC
(3)解:過點M作MF⊥MB于點M,過點A作AF⊥MA于點A,MF與AF交于點F,連接BF,
由對稱性可知:∠AMB=∠ACB=45°,
∴∠FMA=45°,
∴△AMF是等腰直角三角形,
∴AM=AF,MF= AM,
∵∠MAF+∠MAB=∠BAD+∠MAB,
∴∠FAB=∠MAD,
在△ABF與△ADM中,
,
∴△ABF≌△ADM(SAS),
∴BF=DM,
在Rt△BMF中,
∵BM2+MF2=BF2,
∴BM2+2AM2=DM2.
【解析】(1)要證明BD是該外接圓的直徑,只需要證明∠BAD是直角即可,又因為∠ABD=45°,所以需要證明∠ADB=45°;(2)在CD延長線上截取DE=BC,連接EA,只需要證明△EAF是等腰直角三角形即可得出結(jié)論;(3)過點M作MF⊥MB于點M,過點A作AF⊥MA于點A,MF與AF交于點F,證明△AMF是等腰三角形后,可得出AM=AF,MF= AM,然后再證明△ABF≌△ADM可得出BF=DM,最后根據(jù)勾股定理即可得出DM2 , AM2 , BM2三者之間的數(shù)量關(guān)系.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù) 的圖象如圖.
(1)求它的對稱軸與x軸交點D的坐標(biāo);
(2)將該拋物線沿它的對稱軸向上平移,設(shè)平移后的拋物線與x軸,y軸的交點分別為A、B、C三點,若∠ACB=90°,求此時拋物線的解析式;
(3)設(shè)(2)中平移后的拋物線的頂點為M,以AB為直徑,D為圓心作⊙D,試判斷直線CM與⊙D的位置關(guān)系,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某家電銷售商城電冰箱的銷售價為每臺2100元,空調(diào)的銷售價為每臺1750元,每臺電冰箱的進價比每臺空調(diào)的進價多400元,商城用80000元購進電冰箱的數(shù)量與用64000元購進空調(diào)的數(shù)量相等.
(1)求每臺電冰箱與空調(diào)的進價分別是多少?
(2)現(xiàn)在商城準(zhǔn)備一次購進這兩種家電共100臺,設(shè)購進電冰箱x臺,這100臺家電的銷售總利潤為y元,要求購進空調(diào)數(shù)量不超過電冰箱數(shù)量的2倍,總利潤不低于13000元,請分析合理的方案共有多少種?并確定獲利最大的方案以及最大利潤.
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【題目】某一公路的道路維修工程,準(zhǔn)備從甲、乙兩個工程隊選一個隊單獨完成.根據(jù)兩隊每天的工程費用和每天完成的工程量可知,若由兩隊合做此項維修工程,6天可以完成,共需工程費用385200元,若單獨完成此項維修工程,甲隊比乙隊少用5天,每天的工程費用甲隊比乙隊多4000元,從節(jié)省資金的角度考慮,應(yīng)該選擇哪個工程隊?
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【題目】太陽能光伏建筑是現(xiàn)代綠色環(huán)保建筑之一,老張準(zhǔn)備把自家屋頂改建成光伏瓦面,改建前屋頂截面△ABC如圖2所示,BC=10米,∠ABC=∠ACB=36°,改建后頂點D在BA的延長線上,且∠BDC=90°,求改建后南屋面邊沿增加部分AD的長.(結(jié)果精確到0.1米) (參考數(shù)據(jù):sin18°≈0.31,cos18°≈0.95.tan18°≈0.32,sin36°≈0.59.cos36°≈0.81,tan36°≈0.73)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,過點A(﹣ ,0)的兩條直線分別交y軸于B、C兩點,且B、C兩點的縱坐標(biāo)分別是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的兩個根
(1)求線段BC的長度;
(2)試問:直線AC與直線AB是否垂直?請說明理由;
(3)若點D在直線AC上,且DB=DC,求點D的坐標(biāo);
(4)在(3)的條件下,直線BD上是否存在點P,使以A、B、P三點為頂點的三角形是等腰三角形?若存在,請直接寫出P點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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【題目】在等腰△ABC中,AC=BC,以BC為直徑的⊙O分別與AB,AC相交于點D,E,過點D作DF⊥AC,垂足為點F.
(1)求證:DF是⊙O的切線;
(2)分別延長CB,F(xiàn)D,相交于點G,∠A=60°,⊙O的半徑為6,求陰影部分的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形AOBC中,O為坐標(biāo)原點,OA、OB分別在x軸、y軸上,點B的坐標(biāo)為(0,3 ),∠ABO=30°,將△ABC沿AB所在直線對折后,點C落在點D處,則點D的坐標(biāo)為( )
A.( , )
B.(2, )
C.( , )
D.( ,3﹣ )
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【題目】如圖,拋物線經(jīng)過A(﹣1,0),B(5,0),C(0, )三點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)在拋物線的對稱軸上有一點P,使PA+PC的值最小,求點P的坐標(biāo);
(3)點M為x軸上一動點,在拋物線上是否存在一點N,使以A,C,M,N四點構(gòu)成的四邊形為平行四邊形?若存在,求點N的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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