【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線yx軸交于A,B兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)C,連接BC.過點(diǎn)ABC的平行線交拋物線于點(diǎn)D

1)求△ABC的面積;

2)已知點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn),在直線AD上有一動(dòng)點(diǎn)E,x軸上有一動(dòng)點(diǎn)F,當(dāng)ME+BE最小時(shí),求|CFEF|的最大值及此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo);

3)如圖2,在y軸正半軸上取點(diǎn)Q,使得CBCQ,點(diǎn)Px軸上一動(dòng)點(diǎn),連接PC,將△CPQ沿PC折疊至△CPQ′.連接BQ,BQ′,QQ′,當(dāng)△BQQ′為等腰三角形時(shí),直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】1SABC6;(2)|CFEF|的最大值為2,點(diǎn)F的坐標(biāo)為(﹣3,0);(3)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(36,0),(﹣30)或(,0).

【解析】

1)分別將x0y0代入解析式即可求出A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo),即可求出△ABC的面積;

2)先證△ABC是直角三角形,再作點(diǎn)B關(guān)于直線AD的對(duì)稱點(diǎn)B',連接MB',交ADE,則此時(shí)ME+BE有最小值,作點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)E',連接CE'并延長CE'交x軸于F,則此時(shí)|CFEF|有最大值,為CE'的長度,根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求出CE'的長度,此時(shí)點(diǎn)F與點(diǎn)B重合,即知點(diǎn)F坐標(biāo);

3)分三種情況通過等邊三角形,直角三角形的性質(zhì)及勾股定理求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

解:(1)在拋物線y中,

當(dāng)y0時(shí),x1=﹣3,x2,

A,0),B(﹣30),

當(dāng)x0時(shí),y=﹣3,

C0,﹣3),

連接AC,

SABCABOC6;

2)在RtABC中,

AC2

BC6,

AB4,

AC2+BC2AB2,

∴△ABC是直角三角形,且∠ACB90°,

tanABC,

∴∠ABC30°,

如圖,作點(diǎn)B關(guān)于直線AD的對(duì)稱點(diǎn)B',連接MB',交ADE,則此時(shí)ME+BE有最小值,

且∠CBB'=90°,∠ABB'=60°,

連接AB',則ABAB',

∴△ABB'為等邊三角形,

BB'=AB',

∴點(diǎn)B'在AB的垂直平分線上,

又∵M為拋物線頂點(diǎn),

∴點(diǎn)M,B'同為拋物線對(duì)稱軸上的點(diǎn),

∵拋物線對(duì)稱軸為x=﹣,

xE=﹣,

C0,﹣3),B(﹣30)代入一次函數(shù)解析式,

解得k=﹣,b=﹣3

yBC=﹣x3,

BCAD,

∴設(shè)yAD=﹣x+b,

A,0)代入,

b=﹣1

yAD=﹣x1,

當(dāng)xE=﹣時(shí),yE2,

E(﹣2),

作點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)E'(﹣,﹣2),

連接CE'并延長CE'交x軸于F,則此時(shí)|CFEF|有最大值,為CE'的長度,

CE'=2

理由如下:

x軸上F外任取一點(diǎn)F',連接F'E',CF',

在△CE'F'中,都有|CF'﹣EE'|<CE',

∴當(dāng)CE'F在一條直線上時(shí),|CFEF|有最大值,

C0,﹣3E'(﹣,﹣2)代入一次函數(shù)解析式,

解得k=﹣,b=﹣3

yCE'=﹣x3,

∴直線CE'與直線CB重合,

∴點(diǎn)F與點(diǎn)B重合,

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為(﹣3,0),

∴|CFEF|的最大值為2

CE'=2;此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)為(﹣3,0);

3)①如圖21,當(dāng)Q'BQ'Q時(shí),

由(1)知∠ABC30°,

∴∠BCA60°,

CBCQ,

∴△CBQ為等邊三角形,

CQBC6

又∵BQ'=QQ',

∴∠BCQ'=∠QCQ’=30°,∠CBQ'=∠CQ'B=∠CQ'Q=∠CQQ'=75°,

∴∠Q'CP=∠QCP=∠PQ'C=∠PQC15°,

∴∠Q'PQ60°,

∴△QQ'P是等邊三角形,△BQ'P是等腰直角三角形,

設(shè)PQa,

QQ'=Q'PQ'Ba,

BPa,

RtQPO中,QP2OP2OQ2

a2+(3a2+32,

解得a13+3(舍去),a233,

BPa66,

OP63,

P360);

②如圖22,當(dāng)BQBQ'時(shí),點(diǎn)P與點(diǎn)B重合,

P(﹣3,0);

③如圖23,當(dāng)QBQQ'時(shí),點(diǎn)P與點(diǎn)A重合,

P(﹣,0).

綜上所述,當(dāng)△BQQ′為等腰三角形時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(36,0),(﹣3,0)或(0).

練習(xí)冊系列答案
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知拋物線x軸交于點(diǎn)A、B左側(cè),與y軸交于點(diǎn)C,經(jīng)過點(diǎn)A的射線AFy軸正半軸相交于點(diǎn)E,與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為F,,點(diǎn)D是點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn),點(diǎn)Py軸上一點(diǎn),且,則點(diǎn)P的坐標(biāo)是______

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,E,F(xiàn)是平行四邊形ABCD對(duì)角線AC上兩點(diǎn),AE=CF=AC.連接DE,DF并延長,分別交AB,BC于點(diǎn)G,H,連接GH,則的值為(  )

A. B. C. D. 1

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【題目】如圖1,矩形ABCD中,E是AD的中點(diǎn),以點(diǎn)E直角頂點(diǎn)的直角三角形EFG的兩邊EF,EG分別過點(diǎn)B,C,∠F=30°.

(1)求證:BE=CE

(2)將△EFG繞點(diǎn)E按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),當(dāng)旋轉(zhuǎn)到EF與AD重合時(shí)停止轉(zhuǎn)動(dòng).若EF,EG分別與AB,BC相交于點(diǎn)M,N.(如圖2)

①求證:△BEM≌△CEN;

②若AB=2,求△BMN面積的最大值;

③當(dāng)旋轉(zhuǎn)停止時(shí),點(diǎn)B恰好在FG上(如圖3),求sin∠EBG的值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】今年928日,某中學(xué)初三年級(jí)同學(xué)進(jìn)行了中招體育模擬考試,王老師為了更加科學(xué)有效地制定后期訓(xùn)練計(jì)劃,對(duì)本班同學(xué)的體考成績進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),并繪制了如圖的條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖,其中體育成績共分為五個(gè)等級(jí):A46分﹣50分;B41分﹣45C36分﹣40分;D31分﹣35分;E30分及以下,請(qǐng)根據(jù)圖中所給的信息完成下列問題:

1)將上面的條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整:并計(jì)算扇形統(tǒng)計(jì)圖中E等級(jí)所對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)為   

2)該班A等級(jí)中共有5名同學(xué)獲得滿分,其中男同學(xué)只有2名,現(xiàn)從這5名同學(xué)中任選2名同學(xué)在班上進(jìn)行經(jīng)驗(yàn)交流,請(qǐng)用樹狀圖或列表法求恰好選到一名男同學(xué)和一名女同學(xué)的概率.

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【題目】如圖是二次函數(shù)yax2+bx+ca≠0)的圖象與x軸的相交情況,關(guān)于下列結(jié)論:

①方程ax2+bx0的兩個(gè)根為x10,x2=﹣4;②b4a0;③9a+3b+c0;其中正確的結(jié)論有( 。

A. 0個(gè)B. 1個(gè)C. 2個(gè)D. 3個(gè)

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【題目】如圖拋物線yax2+bx+c的對(duì)稱軸為直線x1,且過點(diǎn)(3,0),下列結(jié)論:abc0;ab+c0;③2a+b0;b24ac0;正確的有( 。﹤(gè).

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,對(duì)于點(diǎn)Px,y),若點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x,|xy|),則稱點(diǎn)Q為點(diǎn)P的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”.

1)請(qǐng)直接寫出點(diǎn)(2,2)的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”的坐標(biāo);

2)如果點(diǎn)P在函數(shù)yx1的圖象上,其“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”Q與點(diǎn)P重合,求點(diǎn)P的坐標(biāo);

3)如果點(diǎn)Mmn)的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”N在函數(shù)yx2的圖象上,當(dāng)0m2時(shí),求線段MN的最大值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,以AB為直徑的⊙O外接于ABC,過A點(diǎn)的切線APBC的延長線交于點(diǎn)P,APB的平分線分別交AB,AC于點(diǎn)DE,其中AE,BDAEBD)的長是一元二次方程x2﹣5x+6=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

(1)求證:PABD=PBAE;

(2)在線段BC上是否存在一點(diǎn)M,使得四邊形ADME是菱形?若存在,請(qǐng)給予證明,并求其面積;若不存在,說明理由.

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