【題目】如圖,以AB為直徑的⊙O外接于△ABC,過A點(diǎn)的切線AP與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P,∠APB的平分線分別交AB,AC于點(diǎn)D,E,其中AE,BD(AE<BD)的長(zhǎng)是一元二次方程x2﹣5x+6=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.
(1)求證:PABD=PBAE;
(2)在線段BC上是否存在一點(diǎn)M,使得四邊形ADME是菱形?若存在,請(qǐng)給予證明,并求其面積;若不存在,說明理由.
【答案】(1)證明見解析;(2)存在,
【解析】(1)易證∠APE=∠BPD,∠EAP=∠B,從而可知△PAE∽△PBD,利用相似三角形的性質(zhì)即可求出答案.
(2)過點(diǎn)D作DF⊥PB于點(diǎn)F,作DG⊥AC于點(diǎn)G,易求得AE=2,BD=3,由(1)可知:,從而可知cos∠BDF=cos∠BAC=cos∠APC=,從而可求出AD和DG的長(zhǎng)度,進(jìn)而證明四邊形ADFE是菱形,此時(shí)F點(diǎn)即為M點(diǎn),利用平行四邊形的面積即可求出菱形ADFE的面積.
(1)∵PD平分∠APB,
∴∠APE=∠BPD,
∵AP與⊙O相切,
∴∠BAP=∠BAC+∠EAP=90°,
∵AB是⊙O的直徑,
∴∠ACB=∠BAC+∠B=90°,
∴∠EAP=∠B,
∴△PAE∽△PBD,
∴,
∴PABD=PBAE;
(2)如圖,過點(diǎn)D作DF⊥PB于點(diǎn)F,作DG⊥AC于點(diǎn)G,
∵PD平分∠APB,AD⊥AP,DF⊥PB,
∴AD=DF,
∵∠EAP=∠B,
∴∠APC=∠BAC,
易證:DF∥AC,
∴∠BDF=∠BAC,
由于AE,BD(AE<BD)的長(zhǎng)是x2﹣5x+6=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,
解得:AE=2,BD=3,
∴由(1)可知:,
∴cos∠APC=,
∴cos∠BDF=cos∠APC=,
∴,
∴DF=2,
∴DF=AE,
∴四邊形ADFE是平行四邊形,
∵AD=DF,
∴四邊形ADFE是菱形,此時(shí)點(diǎn)F即為M點(diǎn),
∵cos∠BAC=cos∠APC=,
∴sin∠BAC=,
∴,
∴DG=,
∴菱形ADME的面積為:DGAE=2×=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(滿分10分)有一個(gè)不透明口袋,裝有分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4的4個(gè)小球(小球除數(shù)字不同外,其余都相同),另有3張背面完全一樣、正面分別寫有數(shù)字1,2,3的卡片.小敏從口袋中任意摸出一個(gè)小球,小穎從這3張背面朝上的卡片中任意摸出一張,然后計(jì)算小球和卡片上的兩個(gè)數(shù)的積.
(1)請(qǐng)你求出摸出的這兩個(gè)數(shù)的積為6的概率;
(2)小敏和小穎做游戲,她們約定:若這兩個(gè)數(shù)的積為奇數(shù),小敏贏;否則,小穎贏.你認(rèn)為該游戲公平嗎?為什么?如果不公平,請(qǐng)你修改游戲規(guī)則,使游戲公平.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】七年級(jí)進(jìn)行法律知識(shí)競(jìng)賽,共有30道題,答對(duì)一道題得4分,不答或答錯(cuò)一道題扣2分.
(1)小紅同學(xué)參加了競(jìng)賽,成績(jī)是90分,請(qǐng)問小紅在競(jìng)賽中答對(duì)了多少道題?
(2)小明也參加了競(jìng)賽,考完后他說:“這次競(jìng)賽我一定能拿到100分.”請(qǐng)問小明有沒有可能拿到100分?試用方程的知識(shí)來說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知△ABN和△ACM位置如圖所示,AB=AC,AD=AE,∠1=∠2.
(1)求證:BD=CE;
(2)求證:∠M=∠N.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知直線∥,、和、分別交于點(diǎn)、、、,點(diǎn)在直線或上且不與點(diǎn)、、、重合.記,,.
(1)若點(diǎn)在圖(1)位置時(shí),求證:;
(2)若點(diǎn)在圖(2)位置時(shí),請(qǐng)直接寫出、、之間的關(guān)系;
(3)若點(diǎn)在圖(3)位置時(shí),寫出、、之間的關(guān)系并給予證明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】探索規(guī)律:觀察下面由組成的圖案和算式,解答問題:
1+3=4=22
1+3+5=9=32
1+3+5+7=16=42
1+3+5+7+9=25=52
(1)請(qǐng)計(jì)算 1+3+5+7+9+11;
(2)請(qǐng)計(jì)算 1+3+5+7+9+…+19;
(3)請(qǐng)計(jì)算 1+3+5+7+9+…+(2n﹣1);
(4)請(qǐng)用上述規(guī)律計(jì)算:21+23+25+…+99.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義一次函數(shù)y=px+q的特征數(shù)為[p,q].如:y=3x-1的特征數(shù)是[3,-1]
(1)若某正比例函數(shù)的特征數(shù)是[k+2, ],求k的值.
(2)在平面直角坐標(biāo)系中,有兩點(diǎn)A(-m,0),B(0,-2m),且△OAB的面積為4(O為原點(diǎn)),求過A、B兩點(diǎn)的一次函數(shù)的特征數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某超市預(yù)測(cè)某飲料有發(fā)展前途,用1600元購進(jìn)一批飲料,面市后果然供不應(yīng)求,又用6000元購進(jìn)這批飲料,第二批飲料的數(shù)量是第一批的3倍,但單價(jià)比第一批貴2元.
(1)第一批飲料進(jìn)貨單價(jià)多少元?
(2)若二次購進(jìn)飲料按同一價(jià)格銷售,兩批全部售完后,獲利不少于1200元,那么銷售單價(jià)至少為多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】化簡(jiǎn)與求值
(1)求3x2+x+3(x2﹣x)﹣(6x2+x)的值,其中x=﹣6.
(2)先化簡(jiǎn),再求值:5(3a2b﹣ab2)﹣4(﹣ab2+3a2b),其中|a+1|+(b﹣)2=0
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