【題目】如圖1,在Rt△ACB中,∠BAC=90°AB=AC,分別過(guò)B、C兩點(diǎn)作過(guò)點(diǎn)A的直線l的垂線,垂足為D、E;

1)如圖1,當(dāng)D、E兩點(diǎn)在直線BC的同側(cè)時(shí),猜想,BDCEDE三條線段有怎樣的數(shù)量關(guān)系?并說(shuō)明理由.

2)如圖(2),將(1)中的條件改為:在△ABC中,AB=AC,D、A、E三點(diǎn)都在直線m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α為任意銳角或鈍角.請(qǐng)問(wèn)結(jié)論DE=BD+CE是否成立?如成立,請(qǐng)你給出證明;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.

3)如圖3,∠BAC=90°,AB=25,AC=35.點(diǎn)PB點(diǎn)出發(fā)沿B→A→C路徑向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng);點(diǎn)QC點(diǎn)出發(fā)沿C→A→B路徑向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng).點(diǎn)PQ分別以每秒23個(gè)單位的速度同時(shí)開(kāi)始運(yùn)動(dòng),只要有一點(diǎn)到達(dá)相應(yīng)的終點(diǎn)時(shí)兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng);在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,分別過(guò)PQPF⊥lF,QG⊥lG.問(wèn):點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí),△PFA△QAG全等?(直接寫出答案)

【答案】(1)BD+ CE = DE(2)成立;(3)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)10或12秒.

【解析】試題分析:(1)BD+ CE = DE根據(jù)∠BDA=CEA=90°,證得∠EAC=∠ABD,利用AAS證明△ABD≌△ACE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AD=CEBD=AE,所以DE=BD+CE;

2成立,利用∠BDA=∠BAC=α,則∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α,得出∠CAE=∠ABD進(jìn)而證得△ADB≌△CEA,即可得出答案.

3)根據(jù)三角形的面積公式即可求得;

4易證∠PFA=∠QGA∠PAF=∠AQG,只需PA=QA,就可得到△PFA與△QAG全等,然后只需根據(jù)點(diǎn)P和點(diǎn)Q不同位置進(jìn)行分類討論即可解決問(wèn)題.

試題解析:

(1)BD+DE=CE

證:∵BD⊥直線l,CE⊥直線l,

∵BD⊥lCE⊥l

∴∠BDA=∠CEA=90°

∴∠ABD+∠DAB=90°

∵∠BAC=90°

∴∠DAB+∠CAE=90°

∴∠ABD=∠CAE

在△ABD和△CAE中,

∴△ABD≌△CAEAAS),

∴AD=CE,BD=AE

∵DE=AD+AE,

∴DE=CE+BD

(2)成立

證:∵∠CAE=180°-∠BAC-∠BAD

∠DBA=180°-∠BDA-∠BAD

∵∠BAC=∠BDA

∴∠CAE=∠ABD

在△ABD和△CAE中,

∴△ABD≌△CAEAAS),

∴AD=CE,BD=AE

∵DE=AD+AE

∴DE=CE+BD;

3)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)1012.

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