Question

在邊長為1cm的正△ABC中，P₀為BC邊上一點，作P₀P₁⊥CA于點 P₁，作P₁P₂⊥AB于點P₂，作P₂P₃⊥BC于點P₃．如果點P₃恰與點P₀重合，則△P₁P₂P₃的面積是

 

cm²．

Answer 1

分析：過A作AD⊥BC于D，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理求出BD、AD，計算三角形的面積，求出∠CP₃P₁=30°，推出CP₃=2CP₁，設(shè)CP₁=a，AP₂=b，BP₃=c，推出CP₃=2a，AP₁=2b，BP₂=2c，得到方程組

a+2b=1 b+2c=1 c+2z=1

，求出a=b=c，即可求出a、b、c，根據(jù)三角形的面積公式求出即可．

解答：解：
過A作AD⊥BC于D，
∵等邊三角形ABC，
∴BD=DC=

1

2

，
由勾股定理得：AD=

3

2

，
∴△ABC的面積是

1

2

×BC×AD=

1

2

×1×

3

2

=

3

4

，
∵等邊三角形ABC，
∴∠C=60°，
∵P₃P₁⊥AC，
∴∠CP₃P₁=30°，
∴CP₃=2CP₁，
設(shè)CP₁=a，AP₂=b，BP₃=c，
∴CP₃=2a，
同理AP₁=2b，BP₂=2c，
∴

a+2b=1 b+2c=1 c+2z=1

，
解得：a=b=c，
即3a=1，
∴a=b=c=

1

3

，
2a=2b=2c=

2

3

，
由勾股定理得：P₃P₁=P₁P₂=P₂P₃=

3

3

，
∴△P₁P₂P₃的面積是S_△ABC-S△CP3P1-S△A P1P2 -S△BP2P3=

3

4

-3×

1

2

×

1

3

×

3

3

=

3

12

，
故答案為：

3

12

．

點評：本題主要考查對三角形的面積，三角形的內(nèi)角和定理，勾股定理，面積與等積變形，等邊三角形的面積，含30度角的直角三角形等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質(zhì)進行推理是解此題的關(guān)鍵．