Question

在邊長(zhǎng)為1cm的正△ABC中，P₀為BC邊上一點(diǎn)，作P₀P₁⊥CA于點(diǎn) P₁，作P₁P₂⊥AB于點(diǎn)P₂，作P₂P₃⊥BC于點(diǎn)P₃．如果點(diǎn)P₃恰與點(diǎn)P₀重合，則△P₁P₂P₃的面積是________cm²．

Answer 1

分析：過(guò)A作AD⊥BC于D，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理求出BD、AD，計(jì)算三角形的面積，求出∠CP₃P₁=30°，推出CP₃=2CP₁，設(shè)CP₁=a，AP₂=b，BP₃=c，推出CP₃=2a，AP₁=2b，BP₂=2c，得到方程組，求出a=b=c，即可求出a、b、c，根據(jù)三角形的面積公式求出即可．
解答：解：
過(guò)A作AD⊥BC于D，
∵等邊三角形ABC，
∴BD=DC=，
由勾股定理得：AD=，
∴△ABC的面積是×BC×AD=×1×=，
∵等邊三角形ABC，
∴∠C=60°，
∵P₃P₁⊥AC，
∴∠CP₃P₁=30°，
∴CP₃=2CP₁，
設(shè)CP₁=a，AP₂=b，BP₃=c，
∴CP₃=2a，
同理AP₁=2b，BP₂=2c，
∴，
解得：a=b=c，
即3a=1，
∴a=b=c=，
2a=2b=2c=，
由勾股定理得：P₃P₁=P₁P₂=P₂P₃=，
∴△P₁P₂P₃的面積是S_△ABC---=-3×××=，
故答案為：．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)三角形的面積，三角形的內(nèi)角和定理，勾股定理，面積與等積變形，等邊三角形的面積，含30度角的直角三角形等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．