Question

【題目】綜合與探究：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點，點在點的左側(cè)，與軸交于點，點是直線下方拋物線上的一個動點.

（1）求直線的解析式；

（2）連接，，并將沿軸對折，得到四邊形.是否存在點，使四邊形為菱形？若存在，求出此時點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

（3）當(dāng)點運動到什么位置時，四邊形的面積最大？求出此時點的坐標(biāo)和四邊形的最大面積.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在點使四邊形為菱形，點的坐標(biāo)為（3）當(dāng)點運動到時，四邊形的面積最大，四邊形的最大面積為32

【解析】

（1）求出B、C的坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求出一次函數(shù)的解析式；

（2）連接PP'交CO于點D．由菱形的性質(zhì)得到，PC=PO，且PD⊥CO，OD=DC=4，即得到點P的縱坐標(biāo)，代入二次函數(shù)解析式即可得到結(jié)論；

（3）如圖2，連接PO，作PM⊥x軸于M，PN⊥y軸于N．設(shè)點P坐標(biāo)為(m，m2-2m-8)，根據(jù)求出四邊形ABPC面積的表達式，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．

（1）當(dāng)時，．

解得，．

∵點在點的左側(cè)，

∴點，的坐標(biāo)分別是，．

當(dāng)時，．

∴點的坐標(biāo)是．

設(shè)直線的解析式為．

將，兩點的坐標(biāo)代入，

得，

解方程，得，

∴直線的解析式為．

（2）拋物線上存在點，使四邊形為菱形．

如圖1，連接交于點．

∵四邊形為菱形，

∴，且，，即點的縱坐標(biāo)為－4．

由，得

，(不合題意，舍去)．

所以存在點使四邊形為菱形，點的坐標(biāo)為．

（3）如圖2，連接，作軸于，軸于．

設(shè)點坐標(biāo)為，

∵點的坐標(biāo)為．

∴，，，，．

∴

∴當(dāng)時，．

此時點坐標(biāo)為．

∴當(dāng)點運動到時，四邊形的面積最大，四邊形的最大面積為32．