Question

【題目】在中，，，于點．

（1）如圖所示，點，分別在線段，上，且，當，時，求線段的長；

（2）如圖所示，點，分別在，上，且，求證：；

（3）如圖所示，點在的延長線上，點在上，且，請直接寫出，，三者的等量關系式．

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析；（3）．

【解析】

（1）根據等腰三角形的性質、直角三角形的性質得到AD＝BD＝DC＝，求出∠MBD＝30°，根據勾股定理計算即可；

（2）證明△BDE≌△ADF，根據全等三角形的性質證明；

（3）過點M作ME∥BC交AB的延長線于E，證明△BME≌△AMN，根據全等三角形的性質得到BE＝AN，根據等腰直角三角形的性質、勾股定理證明結論．

（1）解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC，

∴AD＝BD＝DC，∠ABC＝∠ACB＝45°，∠BAD＝∠CAD＝45°，

∵AB＝2，

∴BC=

∴AD＝BD＝DC=BC＝，

∵∠AMN＝30°，

∴∠BMD＝180°90°30°＝60°，

∴∠MBD＝30°，

∴BM＝2DM，

由勾股定理得，BM2DM2＝BD2，即（2DM）2DM2＝（）2，

解得，DM＝，

∴AM＝ADDM＝；

（2）證明：∵AD⊥BC，∠EDF＝90°，

∴∠BDE＝∠ADF，

在△BDE和△ADF中，

，

∴△BDE≌△ADF（ASA）

∴BE＝AF；

（3），理由如下：

過點M作ME∥BC交AB的延長線于E，

∴∠AME＝90°，∠E＝90°-∠BAM=45°，

∴AM=EM,

則AE＝=AM，

∵∠AME＝90°，∠BMN＝90°，

∴∠BME＝∠AMN，

在△BME和△NMA中，

，

∴△BME≌△NMA（ASA），

∴BE＝AN，

∴AB＋AN＝AB＋BE＝AE＝AM．