Question

【題目】已知：如圖1，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為6，∠DAB=60°，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，連接AC、EC．點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線A—D—C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿射線AB運(yùn)動(dòng)，P、Q的速度均為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度；以PQ為邊在PQ的左側(cè)作等邊△PQF，△PQF與△AEC重疊部分的面積為S，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t．

（1）當(dāng)?shù)冗?/span>△PQF的邊PQ恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)D時(shí)，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值；當(dāng)?shù)冗?/span>△PQF的邊QF恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)E時(shí)，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值；

（2）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，請(qǐng)求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式和相應(yīng)的自變量t的取值范圍；

（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，將等邊△PQF繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)α ° (0<α<360°)，直線PF 分別與直線AC、直線CD交于點(diǎn)M、N．是否存在這樣的α ，使△CMN為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出此時(shí)線段CM的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1），;（2）見(jiàn)解析;（3）見(jiàn)解析.

【解析】

（1）根據(jù)題意求出運(yùn)動(dòng)的距離，再除以速度即可求出時(shí)間；

（2）分當(dāng)0＜t≤3時(shí)，當(dāng)3＜t≤6時(shí)，當(dāng)6＜t≤9時(shí)，當(dāng)9＜t≤12時(shí)，四種情況，分別求出重疊部分面積即可；

（3）分交點(diǎn)都在BC左側(cè)，頂角為120°，交點(diǎn)都在BC右側(cè)時(shí)，頂角可能為30°和120°；交點(diǎn)在BC兩側(cè)時(shí)，頂角為150°進(jìn)行討論求解即可.

解：（1）當(dāng)?shù)冗?/span>△PQF的邊PQ恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)D時(shí)，

如圖1,

AQ=AD=6，

∴t=6÷1=6（秒）；

當(dāng)?shù)冗?/span>△PQF的邊QF恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)E時(shí)，

如圖2,

由菱形ABCD的邊長(zhǎng)為6，∠DAB=60°，P、Q的速度均為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，

知：∠APQ=60°，∠QEB=60°，

∴QE∥AD，

∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，

∴此時(shí)點(diǎn)Q是CD的中點(diǎn)，

可求：AD+DQ=6+3=9，

所以t=9÷1=9（秒）；

（2）如圖3,

當(dāng)0＜t≤3時(shí)，

由菱形ABCD的邊長(zhǎng)為6，∠DAB=60°，

可求：∠PAG=30°，

∵∠APQ=60°，

∴∠AGP=90°，

由AP=t，可求：PG=t，AG=t，

∴S=PG×AG=t2；

當(dāng)3＜t≤6時(shí)，

如圖4,

,

AE=3，AP=t，

∴PE=t-3，

過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線，垂足為H，

由菱形ABCD的邊長(zhǎng)為6，∠DAB=60°，

可求：CH=3，BH=3，EH=6，

tan∠KEB=，

過(guò)點(diǎn)K作KM⊥AB，作CN∥PK交AB的延長(zhǎng)線于N，

∵△EKP∽△ECN，可得

=，

可求KM=，

∴S△PEK=，

可求∠QAG=30°，

又∠AQG=60°，AQ=t，

可求∠AGQ=90°，

DG=t，GQ=t，

∴S△AGQ=t2，

等邊三角形APD的面積為：，

∴S=-t2-=+t，

當(dāng)6＜t≤9時(shí)，

如圖5，

，

與前同理可求：S△FQP=9，

S△GQN=，

S△KEP=，

∴S=9--=t2+4t，

當(dāng)9＜t≤12時(shí)，

如圖6，

求出：S△PQF=9，

S△QGH=，

S△NEP=，

S△KEF=，

∴S=S△PQF-S△QGH-S△NEP+S△KEF=9-- +=t25t+30；

（3）逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)：

①α=150°，如圖7，

此時(shí)，易求∠CNM=∠NCM=∠APM=∠MAP=∠DAP=30°，

可證△ACD∽△APM，

∴＝，

易求AP=12，AC=6，AD=6，

解得：AM=4，

所以，CM=2；

②α=105°，如圖8,

此時(shí)，易求CM=CN，∠CMN=∠CNM=∠APM=75°，

∴AM=AP=12，

在菱形ABCD中，AD=CD=6，∠D=120°，

可求AC=6，

所以，CM=12=6；

③α=60°，如圖9,

此時(shí)，易求∠CMN=∠MCN=∠ACB=30°，

∴BC∥PM，

由AB=BP=6可得，CM=AC=6,

所以：CM=6；

④α=15°，如圖10,

此時(shí)，易求∠APM=∠M=15°，

∴AM=AP=12，

所以：CM=AM+AC，

CM=12+6．