Question

如圖，P是正方形ABCD邊BC上的一點(diǎn)，且BP=3PC，Q是CD中點(diǎn)．
（1）求證：△ADQ∽△QCP．
（2）試問：AQ與PQ有什么關(guān)系（位置與數(shù)量）？

Answer 1

（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠C=∠D=90°；
又∵Q是CD中點(diǎn)，
∴CQ=DQ=AD；
∵BP=3PC，
∴CP=AD，
∴==，
又∵∠C=∠D=90°，
∴△ADQ∽△QCP；

（2）AQ=2PQ，且AQ⊥PQ．理由如下：
由（1）知，△ADQ∽△QCP，==，
則===，
AQ=2PQ；
∵△ADQ∽△QCP，
∴∠AQD=∠QPC，∠DAQ=∠PQC，
∴∠PQC+∠DQA=DAQ+AQD=90°，
∴AQ⊥QP．
分析：（1）在所要求證的兩個三角形中，已知的等量條件為：∠D=∠C=90°，若證明兩三角形相似，可證兩個三角形的對應(yīng)直角邊成比例；
（2）AQ=2PQ，且AQ⊥PQ．根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可求得AQ與PQ的數(shù)量關(guān)系；根據(jù)相似三角形的對應(yīng)角相等即可證得AQ與PQ的位置關(guān)系．
點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．相似三角形的對應(yīng)邊成比例、對應(yīng)角相等．