如圖四邊形AOBC是正方形,點C的坐標(biāo)是(4
2
,0),動點P、Q同時從點O出發(fā),點P沿著折線OACB的方向運動;點Q沿著折線OBCA的方向運動,設(shè)運動時間為t.
(1)求出經(jīng)過O、A、C三點的拋物線的解析式.
(2)若點Q的運動速度是點P的2倍,點Q運動到邊BC上,連接PQ交AB于點R,當(dāng)AR=3
2
時,請求出直線PQ的解析式.
(3)若點P的運動速度為每秒1個單位長度,點Q的運動速度為每秒2個單位長度精英家教網(wǎng),兩點運動到相遇停止.設(shè)△OPQ的面積為S.請求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式以及自變量t的取值范圍.
(4)判斷在(3)的條件下,當(dāng)t為何值時,△OPQ的面積最大?
分析:(1)要求經(jīng)過O、A、C三點的拋物線的解析式,只要求出點A的坐標(biāo)就可以,并且根據(jù)拋物線的對稱性可知點A是頂點,所以根據(jù)正方形的性質(zhì)很容易求出點A的坐標(biāo),從而解決問題.
(2)要求直線PQ的解析式,根據(jù)P、Q的速度關(guān)系,利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例求出P、Q的坐標(biāo),最后利用待定系數(shù)法求出其解析式就可.
(3)本問實際上是一個分段函數(shù),P、Q到達不同的位置S與t的解析式是不一樣的,Q到達B點時P在OA的中點,Q到達C點時P到達A點,求出P、Q的 相遇時間分3種情況就可以表示出其函數(shù)關(guān)系式.
(4)通過第(3)問的函數(shù)關(guān)系式及圖形就可以比較或計算出△OPQ的最大面積.
解答:解:(1)設(shè)AB、OC相交于點D.
∵四邊形ACBO是正方形,
∴OD=CD=
1
2
OC,OD⊥CD,∠OAD=∠AOC=45°,AB=OC,∠OAC=90°,
∴∠ADC=90°,DO=DA,AB=4
2
,OA=AC=BC=OB=4,
∵OC=4
2
,
∴DO=DA=2
2

∴點A(2
2
,2
2
),
設(shè)經(jīng)過O、A、C三點的拋物線的解析式為y=ax2+bx+c.由題意得
-
b
2a
=2
2
4ac-b2
4a
=2
2
0=32a+4
2
b+c
,
解得:
a=-
2
4
b=2
c=0

故經(jīng)過O、A、C三點的拋物線的解析式為:y=-
2
4
x2+2x
;

(2)設(shè)t秒后點Q運動到邊BC上,連接PQ交AB于點R.
∴OP=t,OB+BQ=2t
∴AP=4-t,BQ=2t-4
∵AR=3
2

∴BR=
2

∵△ARP∽△BRQ
AR
BR
=
AP
BQ

4-t
2t-4
=
3
2
2

解得:t=
16
7

∴OP=
16
7
,P(
8
2
7
,
8
2
7

BQ=
4
7
,Q(
16
2
7
,-
12
2
7

設(shè)PQ的解析式為y=kx+b,由題意得
8
2
7
=
8
2
7
k+b
-
12
2
7
=
16
2
7
k+b

解得:
k=-
5
2
b=4
2

∴PQ的解析式為:y=-
5
2
x+4
2
;

(3)由題意得精英家教網(wǎng)
t+2t=16
解得:t=
16
3

∴PQ相遇的時間為
16
3
在整個運動過程中S與t的函數(shù)關(guān)系式有三種情況:
S=
1
2
t•2t=t2     (0≤t≤2)
1
2
t•4=2t      (2<t≤4)
-6t+32         (4<t≤
16
3
)


(4)在(3)的條件下,當(dāng)t=4時,△OPQ的面積最大.
∴S△OPQ最大=8
點評:本題是一道二次函數(shù)的綜合試題,考查了待定系數(shù)法求拋物線的解析式、直線的解析式以及動點問題在函數(shù)中的運用.本題難度比較大,是一道綜合性較強的試題.
練習(xí)冊系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,四邊形AOBC是正方形,點C的坐標(biāo)是(4
2
,0),動點P從點O出發(fā),沿折線OACB方向勻速運動,另一動點Q從點C出發(fā),沿折線CBOA方向勻速運動.
(1)求點A的坐標(biāo)點和正方形AOBC的面積;
(2)將正方形繞點O順時針旋轉(zhuǎn)45°,求旋轉(zhuǎn)后的正方形與原正方形的重疊部分的面積;
(3)若P的運動速度是1個單位/每秒,Q的運動速度是2個單位/每秒,P、Q兩點同時出發(fā),當(dāng)Q運動到點A 時P、Q同時停止運動.設(shè)運動時間為t秒,是否存在這樣的t值,使△OPQ成為等腰三角形?若存在,請求出Q點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知拋物線y=(
1
2
sin45°)x2-2x+n過原點O和x軸上另一點C,它的頂點為B,四邊形AOBC是菱形,動點P、Q同時從O點出發(fā),P沿折線OACB運動,Q沿折線OBCA運動.
(1)求出點A、點B的坐標(biāo),并求出菱形AOBC的邊長;
(2)若點Q的運動速度是點P運動速度的3倍,點Q第一次運動到BC上,連接PQ交AB于點R,當(dāng)AR=3
2
時,求直線PQ的解析式;
(3)若點P的運動速度是每秒2個單位長,點Q的運動速度是每秒3個單位長,運動到第一次相遇時停止.設(shè)△OPQ的面積為S,運動的時間為t,求這個運動過程中S與t之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出當(dāng)t為何值時,△OPQ的面積最大.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖四邊形AOBC是正方形,點C的坐標(biāo)是(4數(shù)學(xué)公式,0),動點P、Q同時從點O出發(fā),點P沿著折線OACB的方向運動;點Q沿著折線OBCA的方向運動,設(shè)運動時間為t.
(1)求出經(jīng)過O、A、C三點的拋物線的解析式.
(2)若點Q的運動速度是點P的2倍,點Q運動到邊BC上,連接PQ交AB于點R,當(dāng)AR=3數(shù)學(xué)公式時,請求出直線PQ的解析式.
(3)若點P的運動速度為每秒1個單位長度,點Q的運動速度為每秒2個單位長度作業(yè)寶,兩點運動到相遇停止.設(shè)△OPQ的面積為S.請求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式以及自變量t的取值范圍.
(4)判斷在(3)的條件下,當(dāng)t為何值時,△OPQ的面積最大?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2010年湖北省黃岡市黃州中學(xué)中考數(shù)學(xué)一模試卷(解析版) 題型:解答題

如圖四邊形AOBC是正方形,點C的坐標(biāo)是(4,0),動點P、Q同時從點O出發(fā),點P沿著折線OACB的方向運動;點Q沿著折線OBCA的方向運動,設(shè)運動時間為t.
(1)求出經(jīng)過O、A、C三點的拋物線的解析式.
(2)若點Q的運動速度是點P的2倍,點Q運動到邊BC上,連接PQ交AB于點R,當(dāng)AR=3時,請求出直線PQ的解析式.
(3)若點P的運動速度為每秒1個單位長度,點Q的運動速度為每秒2個單位長度,兩點運動到相遇停止.設(shè)△OPQ的面積為S.請求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式以及自變量t的取值范圍.
(4)判斷在(3)的條件下,當(dāng)t為何值時,△OPQ的面積最大?

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