Question

如圖，四邊形AOBC是正方形，點C的坐標(biāo)是（4

2

，0），動點P從點O出發(fā)，沿折線OACB方向勻速運(yùn)動，另一動點Q從點C出發(fā)，沿折線CBOA方向勻速運(yùn)動．
（1）求點A的坐標(biāo)點和正方形AOBC的面積；
（2）將正方形繞點O順時針旋轉(zhuǎn)45°，求旋轉(zhuǎn)后的正方形與原正方形的重疊部分的面積；
（3）若P的運(yùn)動速度是1個單位/每秒，Q的運(yùn)動速度是2個單位/每秒，P、Q兩點同時出發(fā)，當(dāng)Q運(yùn)動到點A 時P、Q同時停止運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動時間為t秒，是否存在這樣的t值，使△OPQ成為等腰三角形？若存在，請求出Q點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）連接AB，根據(jù)△OCA為等腰三角形可得AD=OD的長，從而得出點A的坐標(biāo)，則得出正方形AOBC的面積；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得OA′的長，從而得出A′C，A′E，再求出面積即可；
（3）存在，從Q點在不同的線段上運(yùn)動情況，可分為三種：
①當(dāng)Q點在BC上時，使OQ=QP，則有OP=2BQ，而OP=t，BQ=4-2t，列式可得出t；
②當(dāng)Q點在OB上時，使OQ=OP，而OP=t，OQ=8-2t，列式可得出t；
③當(dāng)Q點在OA上時，使OQ=PQ，列式可得出t．

解答：解：（1）連接AB，與OC交于點D，
由△OCA為等腰Rt△，得AD=OD=

1

2

OC=2

2

，（1分）
∴點A的坐標(biāo)為（2

2

，2

2

），（2分）
正方形AOBC的面積16（1分）

（2）旋轉(zhuǎn)后可得OA′=OB=4，（1分）
∴A′C=4

2

-4，而可知∠CA′E=90°，∠OCB=45°，
∴△A′EC是等腰直角三角形，
∴A′E=A′C=4

2

-4，（1分）
∴S_{四邊形OA’EB}=S_△OBC-S_△A’EC=16

2

-16．（2分）

（3）存在，從Q點在不同的線段上運(yùn)動情況，可分為三種：
①當(dāng)Q點在BC上時，使OQ=QP，QM為OP的垂直平分線，
則有OP=2OM=2BQ，而OP=t，BQ=4-2t，

∴t=2（4-2t），
∴t=

8

5

．（1分）
∴Q（

12 2

5

，-

8 2

5

）
②當(dāng)Q點在OB上時，使OQ=OP，而OP=t，OQ=8-2t，
∴t=8-2t，
∴t=

8

3

．（1分）
∴Q（

4 2

3

，-

4 2

3

）
③當(dāng)Q點在OA上時，使OQ=PQ，t²-24t+96=0，t=12+4

3

（舍去），t=12-4

3

．（2分）
∴Q（4

11

，4

11

）
（注：其他解法只要正確，同樣相應(yīng)給分）

點評：本題是一道綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)，等腰三角形的判定以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，是中考壓軸題，綜合性較強(qiáng)，難度較大．