【題目】如圖,拋物線y=x2+bx+c與y軸交于點C(0,-4),與x軸交于A、B,且點B的坐標為(2,0).

(1)求該拋物線的解析式;

(2) 若點P是AB上的一動點,過點P作PE∥AC,交BC于E,連接CP,求△PCE面積的最大值;

(3) 若點D為OA的中點,點M是線段AC上一點,且△OMD是等腰三角形,求M點的坐標.

【答案】(1)拋物線的解析式為y=x2+x-4;

(2)△PCE面積的最大值為3;

(3)M點的坐標為(-1,-3)或(-2,-2).

【解析】試題分析:本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形。

1)將點A的坐標和點B的坐標代入拋物線的解析式中,即可求得該拋物線的解析式。

2)將y=0代入拋物線的解析式中,得到點A的坐標,因為PE//AC,所以∠BPE=BAC,BEP=BCA,則BPEBAC,由相似三角形的面積比等于相似比的平方的性質(zhì)求得PCE的面積方程,即可求得PCE面積的最大值。

3)根據(jù)題意,分類討論OMD為等腰三角形的情況,①當OD=DM時,因為點DOA的中點,所以ADM為等腰三角形,因為OA=OC,且∠AOC=90,所以AOC為等腰直角三角形,即可求得點M的坐標。②當DM=OM時,過點MAB的垂線交于N點,連接MN,因為MNAB,由等腰三角形的性質(zhì)可知,MNOMD的中線,所以ON=DN=1,設(shè)為y=kx+b,將點A的坐標和點C的坐標代入上式得直線AC的解析式,則將x=1代入直線AC的解析式中,即可求得點M的坐標。③當DO=OM時,OM最小為點OAC的距離,因為AOC為等腰直角三角形,即可證明DO=OM不成立。

試題解析:(1)把點C0,4),B(2,0)分別代入y=x2+bx+c中,

c=4

×22+2b+c=0

b=1

y=x2+x4

2)設(shè)P點坐標為(x,0),則BP=2x,

x2+x4=0 x1=2,x2=4

A點坐標為(-4,0

SABC =AB·OC=×6×4=12

PEAC

∴∠BPE =BAC BEP =BCA

∴△BPE∽△BAC…

=()2 =

所以SBPE = (2x)2

又∵SBCP = (2x) ×4=2(2x)

SPCE =SBCP SBPE =2(2x) (2x)2 =x2 x+= (x+1)2+3

x=1PCE面積的最大值是3

3)當MO=MD時,過MMM1OD,垂足為M1,則M1OD的中點

OM1=DM1=1

又∵∠OAC =45°

M1M=M1A=3

M點的坐標為(-1,-3

DM=DO時,

DO=DM=DA=2

∴∠OAC =AMD=45°

∴∠ADM =90°

M點的坐標為(-2,2

OM=OD時,過OOM2AC,垂足為M2,

OA =4

OM2=2

OM≥OM2=2

又∵OD=2

OM>OD

∴在AC上不存在點M,使OM=OD

所以M點的坐標為(-1,-3)或(-2,2).

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每人捐款數(shù)(元)

2

5

10

20

相應(yīng)人數(shù)

5

10

20

15

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A.80%(1+30%)x=2080
B.30%80%x=2080
C.2080×30%×80%=x
D.30%x=2080×80%

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AB兩點中有一點在原點時:
不妨設(shè)A在原點,如圖1AB=OB=|b|=|a-b|;


A,B兩點都不在原點時:
①如圖2,點AB都在原點的右邊,AB=OB-OA=|b|-|a|=b-a=|a-b|;


②如圖3,點A,B都在原點左邊,AB=OB-OA=|b|-|a|=-b--a=|a-b|;


③如圖4,點A,B在原點的兩邊,AB=OA+OB=|a|+|b|=a+-b=|a-b|;


綜上,數(shù)軸上A,B兩點之間的距離AB=|a-b|
1)回答問題:數(shù)軸上表示25的兩點之間的距離是 數(shù)軸上表示-2-5的兩點之間的距離是 ,數(shù)軸上表示1-3的兩點之間的距離是 數(shù)軸上表示x-1的兩點之間的距離是 .

2)如圖5,若|a-b|=2013,且OA=2OB,求a+b的值.

3)結(jié)合兩點之間的距離,若點M表示的數(shù)為x,當代數(shù)式|x+1|+|x-2|取最小值時,相應(yīng)x的取值范圍是

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