Question

【題目】我們不妨約定：如圖①，若點(diǎn)D在△ABC的邊AB上，且滿足∠ACD=∠B（或∠BCD=∠A），則稱滿足這樣條件的點(diǎn)為△ABC邊AB上的“理想點(diǎn)”．

（1）如圖①，若點(diǎn)D是△ABC的邊AB的中點(diǎn)，AC=，AB=4.試判斷點(diǎn)D是不是△ABC邊AB上的“理想點(diǎn)”，并說(shuō)明理由．

（2）如圖②，在⊙O中，AB為直徑，且AB=5，AC=4.若點(diǎn)D是△ABC邊AB上的“理想點(diǎn)”，求CD的長(zhǎng)．

（3）如圖③，已知平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(0,2),B(0,-3),C為x軸正半軸上一點(diǎn)，且滿足∠ACB=45°，在y軸上是否存在一點(diǎn)D，使點(diǎn)A是B，C，D三點(diǎn)圍成的三角形的“理想點(diǎn)”，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）是，理由見(jiàn)解析；（2）；（3）D（0,42）或D（0,6）

【解析】

（1）依據(jù)邊長(zhǎng)AC=，AB=4，D是邊AB的中點(diǎn)，得到AC2=，可得到兩個(gè)三角形相似，從而得到∠ACD=∠B；

(2)由點(diǎn)D是△ABC的“理想點(diǎn)”，得到∠ACD=∠B或∠BCD=∠A，分兩種情況證明均得到CD⊥AB，再根據(jù)面積法求出CD的長(zhǎng)；

(3)使點(diǎn)A是B，C，D三點(diǎn)圍成的三角形的“理想點(diǎn)”，應(yīng)分兩種情況討論，利用三角形相似分別求出點(diǎn)D的坐標(biāo)即可.

（1）D是△ABC邊AB上的“理想點(diǎn)”，理由：

∵AB=4，點(diǎn)D是△ABC的邊AB的中點(diǎn)，

∴AD=2，

∵AC2=8，，

∴AC2=，

又∵∠A=∠A，

∴△ADC∽△ACB，

∴∠ACD=∠B，

∴D是△ABC邊AB上的“理想點(diǎn)”.

（2）如圖②，

∵點(diǎn)D是△ABC的“理想點(diǎn)”，

∴∠ACD=∠B或∠BCD=∠A,

當(dāng)∠ACD=∠B時(shí)，

∵∠ACD+∠BCD=90，

∴∠BCD+∠B=90，

∴∠CDB=90，

當(dāng)∠BCD=∠A時(shí)，同理可得CD⊥AB，

在Rt△ABC中，∵∠ACB=90,AB=5，AC=4，

∴BC==3，

∵,

∴,

∴.

（3）如圖③，存在.

過(guò)點(diǎn)A作MA⊥AC交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，∵∠MAC=∠AOC=90,∠ACM=45，

∴∠AMC=∠ACM=45，

∴AM=AC,

∵∠MAH+∠CAO=90,∠CAO+∠ACO=90,

∴∠MAH=∠ACO,

∴△AHM≌△COA

∴MH=OA,OC=AH,

設(shè)C（a，0），

∵A(0，2),B(0，-3),

∴OA=MH=2，OB=3，AB=5，OC=AH=a，BH=a-5，

∵MH∥OC,

∴，

∴，

解得a=6或a=-1（舍去），

經(jīng)檢驗(yàn)a=6是原分式方程的解，

∴C（6,0），OC=6.

①當(dāng)∠D1CA=∠ABC時(shí)，點(diǎn)A是△BCD1的“理想點(diǎn)”，

設(shè)D1(0，m)，

∵∠D1CA=∠ABC,∠CD1A=∠CD1B,

∴△D1AC∽△D1CB,

∴,

∴，

解得m=42，∴D1(0，42)；

②當(dāng)∠BCA=∠CD2B時(shí)，點(diǎn)A是△BCD2“理想點(diǎn)”，

可知：∠CD2O=45，

∴OD2=OC=6，

∴D2（0,6）.

綜上，滿足條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)為D（0,42）或D（0,6）.