【題目】如圖,已知一個直角三角形紙片ACB,其中∠ACB=90°,AC=4,BC=3,E、F分別是AC、AB邊上點,連接EF.
(1)圖①,若將紙片ACB的一角沿EF折疊,折疊后點A落在AB邊上的點D處,且使S四邊形ECBF=3S△EDF,求AE的長;
(2)如圖②,若將紙片ACB的一角沿EF折疊,折疊后點A落在BC邊上的點M處,且使MF∥CA.
①試判斷四邊形AEMF的形狀,并證明你的結論;
②求EF的長;
(3)如圖③,若FE的延長線與BC的延長線交于點N,CN=1,CE=,求的值.
【答案】(1);(2)①四邊形AEMF為菱形,理由詳見解析;②;(3).
【解析】
試題分析:(1)先利用折疊的性質得到EF⊥AB,△AEF≌△DEF,則S△AEF≌S△DEF,則易得S△ABC=4S△AEF,再證明Rt△AEF∽Rt△ABC,然后根據相似三角形的性質得到=()2,再利用勾股定理求出AB即可得到AE的長;(2)①通過證明四條邊相等判斷四邊形AEMF為菱形;
②連結AM交EF于點O,如圖②,設AE=x,則EM=x,CE=4﹣x,先證明△CME∽△CBA得到==,解出x后計算出CM=,再利用勾股定理計算出AM,然后根據菱形的面積公式計算EF;
(3)如圖③,作FH⊥BC于H,先證明△NCE∽△NFH,利用相似比得到FH:NH=4:7,設FH=4x,NH=7x,則CH=7x﹣1,BH=3﹣(7x﹣1)=4﹣7x,再證明△BFH∽△BAC,利用相似比可計算出x=,則可計算出FH和BH,接著利用勾股定理計算出BF,從而得到AF的長,于是可計算出的值.
試題解析:(1)如圖①,
∵△ACB的一角沿EF折疊,折疊后點A落在AB邊上的點D處,
∴EF⊥AB,△AEF≌△DEF,
∴S△AEF≌S△DEF,
∵S四邊形ECBF=3S△EDF,
∴S△ABC=4S△AEF,
在Rt△ABC中,∵∠ACB=90°,AC=4,BC=3,
∴AB==5,
∵∠EAF=∠BAC,
∴Rt△AEF∽Rt△ABC,
∴=()2,即()2=,
∴AE=;
(2)①四邊形AEMF為菱形.理由如下:
如圖②,∵△ACB的一角沿EF折疊,折疊后點A落在AB邊上的點D處,
∴AE=EM,AF=MF,∠AFE=∠MFE,
∵MF∥AC,
∴∠AEF=∠MFE,
∴∠AEF=∠AFE,
∴AE=AF,
∴AE=EM=MF=AF,
∴四邊形AEMF為菱形;
②連結AM交EF于點O,如圖②,
設AE=x,則EM=x,CE=4﹣x,
∵四邊形AEMF為菱形,
∴EM∥AB,
∴△CME∽△CBA,
∴==,即==,解得x=,CM=,
在Rt△ACM中,AM===,
∵S菱形AEMF=EFAM=AECM,
∴EF=2×=;
(3)如圖③,作FH⊥BC于H,
∵EC∥FH,
∴△NCE∽△NFH,
∴CN:NH=CE:FH,即1:NH=:FH,
∴FH:NH=4:7,
設FH=4x,NH=7x,則CH=7x﹣1,BH=3﹣(7x﹣1)=4﹣7x,
∵FH∥AC,
∴△BFH∽△BAC,
∴BH:BC=FH:AC,即(4﹣7x):3=4x:4,解得x=,
∴FH=4x=,BH=4﹣7x=,
在Rt△BFH中,BF==2,
∴AF=AB﹣BF=5﹣2=3,
∴=.
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【題目】某中學九年級數學興趣小組想測量建筑物AB的高度.他們在C處仰望建筑物頂端,測得仰角為48°,再往建筑物的方向前進6米到達D處,測得仰角為64°,求建筑物的高度.(測角器的高度忽略不計,結果精確到0.1米)
(參考數據:sin48°≈,tan48°≈,sin64°≈,tan64°≈2)
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,點C在AB的延長線上,CD與⊙O相切于點D,CE⊥AD,交AD的延長線于點E.
(1)求證:∠BDC=∠A;
(2)若CE=4,DE=2,求AD的長.
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【題目】小明的外婆從家鄉(xiāng)帶來一籃蘋果,小明數了數,發(fā)現每次拿出4個、每次拿出5個或每次拿出6個,都恰好拿完,又知道蘋果的總數超過100個,但又不足150個,試問這籃蘋果共多少個?
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=CB,以AB為直徑的⊙O交AC于點D,點E是AB邊上一點(點E不與點A、B重合),DE的延長線交⊙O于點G,DF⊥DG,且交BC于點F.
(1)求證:AE=BF;
(2)連接GB,EF,求證:GB∥EF;
(3)若AE=1,EB=2,求DG的長.
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【題目】平南縣某小區(qū)5月份隨機抽取了15戶家庭,對其用電情況進行了統(tǒng)計,統(tǒng)計情況如下(單位:度):78,62,95,108,87,103,99,74,87,105,88,76,76,94,79.則用電量在71~80的家庭有( )
A. 4戶B. 5戶C. 6戶D. 7戶
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【題目】如圖,已知四邊形ABCD中,∠ABC=90°,∠ADC=90°,AB=6,CD=4,BC的延長線與AD的延長線交于點E.
(1)若∠A=60°,求BC的長;
(2)若sinA=,求AD的長.
(注意:本題中的計算過程和結果均保留根號)
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