Question

【題目】如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C

（1）求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；

（2）設(shè)D為已知拋物線的對稱軸上的任意一點(diǎn)，當(dāng)△ACD的面積等于△ACB的面積時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）若直線l過點(diǎn)E（4，0），M為直線l上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以A、B、M為頂點(diǎn)所作的直角三角形有且只有三個(gè)時(shí)，求直線l的解析式．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣4，0）、B（2，0）；（2）D點(diǎn)坐標(biāo)為：D1（﹣1，），D2（﹣1，）；（3）直線l的解析式為y=x+3或y=x﹣3．

【解析】

解：（1）在中，令y=0，即，解得x1=﹣4，x2=2．

∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，∴A、B點(diǎn)的坐標(biāo)為A（﹣4，0）、B（2，0）．

（2）由得，對稱軸為x=﹣1．

在中，令x=0，得y=3．

∴OC=3，AB=6，．

在Rt△AOC中，．

設(shè)△ACD中AC邊上的高為h，則有ACh=9，解得h=．

如圖1，在坐標(biāo)平面內(nèi)作直線平行于AC，且到AC的距離=h=，這樣的直線有2條，分別是L1和L2，則直線與對稱軸x=﹣1的兩個(gè)交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)D．

設(shè)L1交y軸于E，過C作CF⊥L1于F，則CF=h=，

∴．

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，

將A（﹣4，0），B（0，3）坐標(biāo)代入，得

，解得．

∴直線AC解析式為．

直線L1可以看做直線AC向下平移CE長度單位（個(gè)長度單位）而形成的，

∴直線L1的解析式為．

則D1的縱坐標(biāo)為．∴D1（﹣1，）．

同理，直線AC向上平移個(gè)長度單位得到L2，可求得D2（﹣1，）．

綜上所述，D點(diǎn)坐標(biāo)為：D1（﹣1，），D2（﹣1，）．

（3）如圖2，以AB為直徑作⊙F，圓心為F．過E點(diǎn)作⊙F的切線，這樣的切線有2條．

連接FM，過M作MN⊥x軸于點(diǎn)N．

∵A（﹣4，0），B（2，0），∴F（﹣1，0），⊙F半徑FM=FB=3．

又FE=5，則在Rt△MEF中，ME=，sin∠MFE=，cos∠MFE=．

在Rt△FMN中，MN=MFsin∠MFE=3×，FN=MFcos∠MFE=3×．

則ON=．

∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（，）．

直線l過M（，），E（4，0），

設(shè)直線l的解析式為y=k1x+b1，則有，解得．

∴直線l的解析式為y=x+3．

同理，可以求得另一條切線的解析式為y=x﹣3．

綜上所述，直線l的解析式為y=x+3或y=x﹣3．