【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形OABC的頂點(diǎn)A,C分別在x軸,y軸的正半軸上,且OA=4,OC=3,若拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)O,A兩點(diǎn),且頂點(diǎn)在BC邊上,對(duì)稱(chēng)軸交AC于點(diǎn)D,動(dòng)點(diǎn)P在拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上,動(dòng)點(diǎn)Q在拋物線(xiàn)上.

(1)求拋物線(xiàn)的解析式;

(2)當(dāng)PO+PC的值最小時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);

(3)是否存在以A,C,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出P,Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)y=x2+3x;(2)當(dāng)PO+PC的值最小時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,);(3)存在,具體見(jiàn)解析.

【解析】

試題(1)由條件可求得拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)及A點(diǎn)坐標(biāo),利用待定系數(shù)法可求得拋物線(xiàn)解析式;

(2) 連接PA,D與P重合時(shí)有最不值,求出點(diǎn)D的坐標(biāo)即可;

(3)存在,分別以PA,PC、PCPQ、PA,PQ為一組鄰邊時(shí),寫(xiě)出坐標(biāo)即可;

試題解析:

(1)在矩形OABC中,OA=4,OC=3,

A(4,0),C(0,3),

∵拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)O、A兩點(diǎn),且頂點(diǎn)在BC邊上,

∴拋物線(xiàn)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,3),

∴可設(shè)拋物線(xiàn)解析式為y=a(x﹣2)2+3,

A點(diǎn)坐標(biāo)代入可得0=a(4﹣2)2+3,解得a=,

∴拋物線(xiàn)解析式為y=(x﹣2)2+3,即y=x2+3x;

(2)連接PA,

∵點(diǎn)P在拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上,∴PA=PO,∴PO+PC= PA+PC

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí),PA+PC= AC

當(dāng)點(diǎn)P不與點(diǎn)D重合時(shí),PA+PC> AC;

∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí),PO+PC的值最小,

設(shè)直線(xiàn)AC的解析式為y=kx+b

根據(jù)題意,得解得

∴直線(xiàn)AC的解析式為,

當(dāng)x=2時(shí),,

∴當(dāng)PO+PC的值最小時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,);

(3)存在.當(dāng)以PAPC為一組鄰邊時(shí),P(2,0),Q(2,3);

當(dāng)以PC,PQ為一組鄰邊時(shí),P(2,-6),Q(6,-9);

當(dāng)以PA,PQ為一組鄰邊時(shí),P(2,-12),Q(-2,-9).

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