Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y＝x2+bx+c過A，B，C三點，點A的坐標是(3，0)，點C的坐標是(0，﹣3)，動點P在拋物線上．

（1）b＝　 　，c＝　 　，點B的坐標為　 　；

（2）是否存在點P，使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，說明理由；

（3）是否存在點P使得∠PCA＝15°，若存在，請直接寫出點P的橫坐標．若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）﹣2，﹣3，(﹣1，0)；（2）存在，(1，﹣4)或(﹣2，5)；（3）存在，或

【解析】

（1）將點A、C的坐標代入拋物線表達式，即可求解；

（2）分∠ACP是直角、∠P′AC為直角兩種情況，分別求解即可；

（3）分點P在直線AC下方、P（P′）在直線AC的上方兩種情況，分別求解即可．

（1）將點A、C的坐標代入拋物線表達式得：，解得：，

故拋物線的表達式為：y＝x2﹣2x﹣3①，

令y＝0，則x＝3或﹣1，故點B（﹣1，0）；

故答案為：﹣2，﹣3，（﹣1，0）；

（2）存在，

理由：如圖1所示：

當①∠ACP是直角時，

由點A、C的坐標知，OC＝OA，即∠ABC＝45°，

則PC與x軸的夾角為45°，

則設(shè)PC的表達式為：y＝﹣x﹣3②，

聯(lián)立①②并解得：x＝0或1（舍去0），

故點P（1，﹣4）；

②當∠P′AC為直角時，

同理可得：點P′的坐標為：（﹣2，5）；

綜上所述，P的坐標是（1，﹣4）或（﹣2，5）；

（3）存在，

理由：如圖2所示，

①當點P在直線AC下方時，

由（2）知：∠OCA＝45°，

又∵∠PCA＝15°，

∴∠OCP＝45°+15°＝60°，

即直線PC的傾斜角為30°，

則直線PC的表達式為：y＝x﹣3③，

聯(lián)立①③并解得：x＝2+或0（舍去0）；

故x＝2+；

②當點P（P′）在直線AC的上方時，

同理可得：點P的橫坐標為：2+；

綜上，點P的橫坐標是：或．