【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC的平分線BD交AC于點D,DE⊥BD交AB于點E,設(shè)⊙O是△BDE的外接圓.
(1)求證:AC是⊙O的切線;
(2)探究線段BC,BD,BO之間的數(shù)量關(guān)系,并證明;
(3)若DC=2,BC=4,求AD的長.
【答案】(1)見解析;(2)BD2=2BOBC,理由見解析;(3)
【解析】
(1)連接OD,由半徑相等得到∠OBD=∠ODB,再由BD為角平分線,得到∠OBD=∠CBD,從而證得∠ODB =∠CBD,OD∥BC,得到∠ODC=90°,即可得證;
(2)BD2=2BOBC,理由為:由三角形EBD與三角形DBC相似,得比例式,將BE換為2BO即可得證;
(3)在直角三角形DBC中,利用勾股定理求出BD的長,根據(jù)(2)的關(guān)系式求出BO的長,即為OD的長,由OD與BC都與AC垂直,得到OD與BC平行,由平行得比例,即可求出AD的長.
(1)證明:連接OD,
∵OB=OD,
∴∠OBD=∠ODB,
∵BD為角平分線,
∴∠OBD=∠CBD,
∴∠ODB =∠CBD,
∴OD∥BC,
∵∠C=90°,
∴∠ODC=90°,
則AC為圓O的切線;
(2)BD2=2BOBC,
理由為:
∵∠C=∠BDE=90°,∠ABD=∠DBC,
∴△EBD∽△DBC,
∴=,即DB2=EBBC,
∵EB=2BO,
∴BD2=2BOBC;
(3)在Rt△BDC中,BC=4,DC=2,
根據(jù)勾股定理得:BD==2,
∴由BD2=2BOBC,得BO=OD==,
∵OD∥BC,
∴=,即=,
解得:AD=.
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【題目】已知二次函數(shù)的圖象如圖所示,下列結(jié)論:①,②,③,④,其中正確結(jié)論的個數(shù)為( )
A.4個B.3個C.2個D.1個
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【題目】《九章算術(shù)》是中國古代數(shù)學(xué)專著在數(shù)學(xué)上有其獨到的成就,不僅最早提到了分數(shù)問題,首先記錄了“盈不足”等問題.如有一道闡述“盈不足”的問題,原文如下:今有共買雞,人出九,盈十一;人出六,不足十六.問人數(shù)、雞價各幾何?譯文為:現(xiàn)有若干人合伙出錢買雞,如果每人出9文錢,就會多11文錢;如果每人出6文錢又會缺16文錢,問買雞的人數(shù)、雞的價格各是多少?通過計算可得買雞的人數(shù)是( )
A.6B.7C.8D.9
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【題目】如圖,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,P為△ABC內(nèi)部一點,且∠APB=∠BPC=135°
(1)求證:△PAB∽△PBC
(2)求證:PA=2PC
(3)若點P到三角形的邊AB,BC,CA的距離分別為h1,h2,h3,求證h12=h2·h3
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【題目】(6分)如圖,菱形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,分別延長OA,OC到點E,F,使AE=CF,依次連接B,F,D,E各點.
(1)求證:△BAE≌△BCF;
(2)若∠ABC=50°,則當(dāng)∠EBA= °時,四邊形BFDE是正方形.
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【題目】某商場計劃購進一批甲、乙兩種玩具,已知一件甲種玩具的進價與一件乙種玩具的進價的和為40元,用90元購進甲種玩具的件數(shù)與用150元購進乙種玩具的件數(shù)相同.
(1)求每件甲種、乙種玩具的進價分別是多少元?
(2)商場計劃購進甲、乙兩種玩具共48件,其中甲種玩具的件數(shù)少于乙種玩具的件數(shù),商場決定此次進貨的總資金不超過1000元,求商場共有幾種進貨方案?
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【題目】已知關(guān)于x方程x2-6x+m+4=0有兩個實數(shù)根x1,x2
(1)求m的取值范圍.
(2)若,求m的值.
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【題目】如圖,直線l1∥l2∥l3,且l1與l2的距離為1,l2與l3的距離為3.把一塊含有45°角的直角三角板如圖所示放置,頂點A,B,C恰好分別落在三條直線上,AC與直線l2交于點D,則線段BD的長度為_____.
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【題目】如圖是拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的部分圖象,其頂點坐標為(1,5)且與x軸的一個交點在(3,0)和(4,0)之間,則下列結(jié)論:①a﹣b+c>0;②2a+b=0;③b2﹣4ac>0;④一元二次方程ax2+bx+c=5有兩個不相等的實數(shù)根.其中正確結(jié)論的個數(shù)是( )
A.1B.2C.3D.4
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